ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Интегралы. Классы интегралов гамильтоновых сисИнвариантные соотношения из "Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике " Дифференциальные уравнения, в том числе уравнения Г амильтона, принято разделять на интегрируемые и неинтегрируемые. Если, однако, мы попытаемся сформулировать точное определение интегрируемости, то оказываются возможными многие различные определения, каждому из которых присущ известный теоретический интерес (Дж. Биркгоф [18]). В этой главе мы дадим обзор различных подходов к проблеме интегрирования гамильтоновых систем. [c.62] Согласно теореме о выпрямлении, в малой окрестности любой точки Хо G М , не являющейся положением равновесия (г (хо) Ф Ф 0), всегда существуют координаты xi.x , в которых дифференциальные уравнения приобретают простейший вид 1 = 1, 2 = = 71 = 0. Поэтому координаты Х2, , х составляют полный набор независимых интегралов любой интеграл — функция от Х2, . , Хп- Проблема интегрирования дифференциальных уравнений трактовалась классиками (вплоть до работ Пуанкаре) исключительно с точки зрения явных формул для интегралов. Эта задача, однако, чисто аналитическая, и ее решение никак не связано с особенностями поведения фазовых траекторий. Оказывается, в ряде случаев можно указать простые явные формулы для локальных интегралов, в то время как в целом динамическая система вовсе не имеет первых интегралов. [c.62] В этих координатах х,у функция Н не зависит от Xi. Таким образом, если зафиксировать значение F = у = с, система уравнений Xk = дН/ду) , ук = —dH/dxk к 2) будет гамильтоновой с п — 1 степенью свободы. Итак, один интеграл позволяет понизить размерность фазового пространства на две единицы (а не на одну, как в общем случае). Одна единица пропадает при фиксировании значения F = с, а. вторая — за счет исключения сопряженной циклической переменной Xj. Однако эффективное использование интеграла F для понижения порядка упирается в задачу явного интегрирования гамильтоновой системы i = vp z). [c.63] Эти замечания можно обобщить если система имеет s независимых интегралов, попарные скобки Пуассона которых обращаются в нуль, то локально она приводится к системе с п— s степенями свободы. Понижение порядка гамильтоновых систем с неинволю-тивным набором интегралов обсуждается в книге [12]. [c.63] Однако следует учитывать, что аналитическая гамильтонова система может иметь интегралы класса С , но не иметь интегралов из класса + (мы не исключаем значение г = 0 neripe-рывную функцию назовем интегралом, если она локально непостоянна и принимает постоянные значения на каждой траектории). Покажем это на примере неавтономной гамильтоновой системы с одной степенью свободы с функцией Г амильтона Н = ау + -j- f x,t), где а — вещественный параметр, / — аналитическая 2тг-периодическая функция переменных х и t. Так как Н периодична по X и i, то естественно принять прямое произведение IR х = [у X, t mod 2тг в качестве расширенного фазового пространства. [c.64] очевидно, интегрируются в квадратурах х = at + Xq, у = = Ро - Jo + 0, т) dr. [c.64] Однако если а достаточно точно приближается рациональными числами, то уравнение (1.3) может иметь периодические решения лишь конечной гладкости или не иметь их вовсе. [c.65] Это утверждение в качестве гипотезы высказано в работе [88]. 1 ам же доказано, что множества и Ма всюду плотны в К. Последнее вытекает из наличия фазовой траек1 ории, плотно заполняющей расширенное фазовое пространство. В полном объеме эта гипотеза доказана в работе Н. Г. Мощевитина [134] там же указан явный вид функции / и описано строение множеств М,х . Мк. Мо, Мв, имеющих мощность континуума. [c.65] Давно подмечено следующее важное обстоятельство известные интегралы уравнений динамики — полиномы по импульсам (либо функции от этих полиномов). Так, например, нётеровы интегралы линейны по импульсам, а интегралы в гамильтоновых системах, решаемых с помощью разделения переменных, — квадратичные функции от импульсов. Это наблюдение допускает обоснование в некоторых важных частных случаях. [c.65] Верно и обратное утверждение если система с гамильтонианом Т + У имеет полиномиальный интеграл, то система с гамильтонианом Т + еУ имеет интеграл в вице степенного ряда (1.4). Для доказательства воспользуемся заменой переменных, обратной к (1.5). В результате в уравнениях Гамильтона появится параметр е. После такой замены полиномиальный интеграл с точностью до несущественного множителя с ганет равным Г+ /гФ, где и Ф — аналитические по функции. Ясно, что Г и Ф — интегралы уравнений Гамильтона с гамильтонианом Т еУ, причем одна из функций Г илиФ р совпадет со старшей однородной формой исходного полиномиального интеграла. [c.66] для уравнений динамики естественно рассматривать классы интегралов в виде полиномов по импульсам с гладкими и однозначными коэффициентами на конфигурационном пространстве. Такие интеграучы будем называть полиномиальными. [c.66] Оказывается, теория инвариантных соотношений гамильтоновых систем тесно связана с идеями гидродинамики идеальной жидкости [89, 105]. [c.67] По аналогии со случаем п = 3, результат умножения rot и на вектор W будем обозначать rot их w. [c.67] Отсюда вытекает уравнение (2.3). Уравнение (2.4) следует из (2.3) применением ротора к левой и правой частям. [c.67] Уравнения (2.3) для гамильтоновых систем появились впервые, по-видимому, в вариационном исчислении как условия согласованности полей экстремалей (см. [19], а также [116, гл. X]). Обобщение уравнений Ламба на негамильтоновы системы содержится в книге [8]. [c.68] Ковекторное поле и назовем потенциальным, если rot и = 0 локально и = dif/dx, где ip — функция от х и i. Справедлива теорема Лагранжа если при i = О ковекторное поле u(x,t) потенциально, то оно будет потенциальным при всех t. В этом случае интеграл (2.6) будет равен нулю для любого замкнутого контура 7, стягиваемого по N в точку. Теорема Лагранжа — простое следствие этого замечания и теоремы Томсона. Инвариантное п-мерное многообразие I = у = и с потенциальным полем и называется лагранжевым. [c.68] В неособом случае вихревые векторы в каждый момент времени образуют гладкое поле направлений на N. Интегральные кривые этого поля называются вихревыми линиями. Оказывается, фазовый поток уравнения (2.5) переводит вихревые линии в вихревые линии. Это утверждение — следствие теоремы Томсона из п. 3. Оно обобщает известный результат Гельмгольца о вмороженнос-ти вихревых линий в динамике идеальной жидкости. [c.69] Уравнение (2.8) — аналог уравнения Эйлера для изменения кинетического момента твердого тела, вращающегося по инерции. [c.69] Пусть п 3 и N имеет структуру обычного евклидова пространства. Тогда поле и можно отождествить с векторным полем ъ N, и rotti будет, очевидно, одним из вихревых полей. Согласно теореме 1, в этом случае суш ествует такое векторное поле w, задаваемое уравнением (2.8), что rot и = aw. [c.70] Следствие. Уравнения (2.5) имеют интегральный инвариант а d x. [c.70] Вернуться к основной статье