ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задача распознавания гамильтоновости динамических систем из "Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике " Если дифференциальные уравнения, представленные в некоторых локальных координатах на гладком многообразии не имеют канонического вида уравнений Г амильтона, то это еще не означает, что они не гамильтоновы локальные координаты могут не быть симплектическими. Приведем примеры динамических систем, гамильтоновость которых априори не очевидна. [c.59] Докажем это. Так как / — интеграл уравнений (9.1), то / = = Вх,Ах) = х,ВАх) = 0. Следовательно, В А — кососимметричный оператор. Отсюда вытекает, в свою очередь, кососимметричность оператора ВА . Из невырожденности А и В следует невырожденность внешней 2-формы П. Эта форма замкнута, как всякая внешняя форма с постоянными коэффициентами. Осталось заметить, что П(Лх, ) = ВА Ах), ) = Вх, )= //. [c.59] При п = 3 умножение матрицы го1 и на вектор эквивалентно векторному умножению т] х причем т] совпадает с ротором векторного поля и. Этим объясняется целесообразность обозначения кососимметричной матрицы duijdxj - дщ/дх через го1 и в многомерном случае. [c.60] Матрица го1 и предполагается невырожденной для всех рассматриваемых значений переменных х и Следовательно, п четно, и уравнения (9.3) однозначно определяют нестационарное векторное поле в переменных Х . х . [c.60] Смысл поправки dS/dt к гамильтониану В ясен из следующего замечания задача Пфаффа не изменится, если добавить в выражение для Р подынтегральное слагаемое dS = [dS/dt)dt- -+ dS/dx)dx. [c.61] Таким образом, задача о представимости дифференциальных уравнений в виде уравнений Гамильтона является содержательной либо в окрестности положения равновесия, либо в достаточно большой области фазового пространства, где траектории обладают свойством возвращаемости (например, в окрестности периодической траектории). К сожалению, она пока совсем не изучена. [c.61] Вернуться к основной статье