ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Движение твердого тела из "Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике " Неунимодулярная группа, как известно, всегда имеет унимоду-лярный нормальный делитель коразмерности единица [34]. Пусть е. — базис в д, причем векторы j. e i образуют базис в соответствующем унимодулярном идеале алгебры д, а вектор е ортогонален j. e i в метрике /у. [c.33] Это утверждение вытекает из того факта, что равновесие т = О s п), т = onst ф О асимптотически устойчиво (при t — - -оо или t — —оо) на соответствующей поверхности интеграла энергии. [c.33] Эти уравнения зависят от шести параметров /ь /2 h, еп, ет з, где li — главные моменты инерции, а г,- — координаты центра масс относительно осей инерции. [c.35] Координаты Ql, .. участвующие в понижении порядка гамильтоновой системы, определены конечно неоднозначно к ним можно добавить произвольные первые интегралы уравнения (3.9). Гамильтониан пониженной системы в общем случае зависит от выбора решения Qn уравнения (3.9). Если же постоянная линейного интеграла Г равна нулю, то функция Г амильтона приведенной системы однозначно определена на кокасательном расслоении локального приведенного пространства положений, точки которого являются орбитами действия группы д. Иногда такое приведение при = О можно осуществить не только локально, но и в целом. [c.37] Интересно отметить, что эта функция является гамильтонианом канонических уравнений задачи о движении точки массы т = 2 по инерции по неподвижной сфере 7 + 7 + 7з записанных в естественных избыточных координатах 7,-,р,- (1 г 3) (см. (1.10)). [c.39] Здесь числа е к равны 1, если перестановка i,j,k — четная, равны -1, если она нечетная, и, наконец, обращаются в нуль, когда среди индексов i,j,k есть совпадающие. [c.39] Отметим, что уравнения Эйлера — Пуассона (3.3) можно записать в виде (3.15), если положить Н = (/ m,m)/2 + У р). Это замечание принадлежит В. А. Стеклову (1901 г.), указавшему, что задача Тиссерана является частным случаем задачи Кирхгофа. [c.40] Это уравнение впервые получено Жуковским (1885 г.) в задаче о вращении твердого тела с полостями, заполненными идеальной несжимаемой жидкостью. Впоследствии (1895 г.) оно было проинтегрировано в эллиптических функциях Вито Вольтерра в работе, посвященной теории движения полюсов Земли. Уравнение (3.21) есть уравнение Пуанкаре на алгебре во(3) с лагранжианом Т = 1ш + Х,ш)/2. [c.42] Уравнения движения более общей задачи о вращении твердого тела с несимметричным ротором уже не имеют простой групповой структуры. Гамильтонов формализм в этой задаче изложен в работе [67]. [c.42] Это обстоятельство позволило Чаплыгину свести интегрирование уравнений (3.22) к гиперэллиптическим квадратурам (детали см. в [172]). Интегрируемые обобщения задачи Чаплыгина даны в работах [90, 124]. [c.42] Вернуться к основной статье