ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вопросы качественного анализа движения волчка Ковалевской Динамические системы, возникающие на инвариантных торах задачи Ковалевской из "Методы качественного анализа в динамике твердого тела Изд2 " В 1 гл. VII были вычислены числа вращения уЦг, /г) касательных векторных полей на (они равны отношению периодов некоторого гиперэллиптического интеграла). В конечном счете 7 зависит от ж 6 К . Напомним, что 7 — непостоянная аналитическая функция на плоскости К2 /1, /2 . [c.196] Согласно теореме 1 и предложению 1 на каждом инвариантном торе существуют точки хо такие, что ф фо (Ф Фо) и Ф(жо) = 0. На резонансных торах (когда 7 рационально) таких точек даже две. [c.196] Так как почти все точки лежат на нерезонансных торах, то движение линии узлов устойчиво по Пуассону. [c.196] Пусть 7(жо) иррационально (т.е. хо принадлежит нерезонансному тору) и Ф(жо) ф 0. Тогда, согласно теореме 5, функция /( , Жо) бесконечно много раз меняет знак при Ь оо. В частности, бесконечно много раз имеет место равенство /) = фо. [c.196] Отметим еще, что для почти всех жо (более точно, когда 7(жо) К2 линия узлов совершает ограниченные квазипериодические колебания. Это следует, например, из леммы 5 и теоремы Боля об ограниченных интегралах квазипериодических функций [64]. [c.196] Будем увеличивать значения параметра и. Тогда доказанные выше утверждения будут справедливы по крайней мере до тех пор, пока первые интегралы уравнения движения независимы, и функция Ф не имеет аналитических особенностей (т.е. пока 4/ ). [c.196] Если 7 иррационально, то знаменатели mi—jm2 отличны от нуля. Однако при достаточно больших значениях nii и m2 эти числа могут быть сколь угодно малыми, что может привести к неравномерной сходимости ряда (1) и неограниченности функции I t). [c.197] Следующий важный результат принадлежит Гильдену. Он доказал, что для почти всех 7 (в смысле меры Лебега) ряд (3) сходится. Отметим, что в то время (1888 г.) не была развита теория меры, и Гильден использовал вероятностные термины вероятность расходимости ряда (3) равна нулю. [c.198] С проблемой малых делителей приходится сталкиваться при решении многих задач математики и механики (см., например, [9, 29, 77]). Общей чертой здесь является применение теоретико-числовых оценок типа неравенства (4). [c.198] Указанные результаты не исчерпывают полностью проблемы они оставляют открытым вопрос о поведении интеграла lit) в тех случаях, когда ряд (2) расходится. Известные примеры А. Пуанкаре показывают, насколько сложным может быть поведение функции I t) при t оо [75]. Утверждения гл. VIII вносят в этот вопрос определенную ясность. [c.198] Интеграл был найден С. В. Ковалевской. [c.200] При фиксированных значениях Д, I2, I3, h = 1 обозначим через S множество точек х К ж1,. .., же , которые удовлетворяют системе уравнений (1.2). Ясно, что S инвариантно относительно группы g сдвигов по траекториям уравнений (1.1). Так как S замкнуто и ограничено в R , то оно компактно. Всюду ниже рассматриваются только такие множества S, на которых первые интегралы (1.2) независимы. В этом случае S — гладкое двумерное многообразие. Исключительные значения параметров Ji, I2, I3 образуют множество нулевой меры. Точно так, как в 1 гл. VII, доказывается, что каждая связная компонента множества S является двумерным тором. [c.200] Лемма 1. Если и мало, то — объединение двух торов. [c.200] Движение не может происходить в областях 3, 5 и 7, так как внутри этих областей существуют точки и З2 такие, что = 32- Из (1.3) следует тогда, что Е(г1) = К г2) = 0. [c.201] Так как R z) — многочлен четвертой степени, то при фиксированных постоянных первых интегралов уравнение R z) = О может иметь не более четырех корней. Поэтому на инвариантных торах существует конечное число точек, в которых Si = S2- Но в областях 3, 5 и 7 таких точек бесконечно много. [c.202] Очевидно, что на любой из двух связных компонент множества Я = Ji, = /з в R xi, Х2, Хз существуют точки. [c.202] Ж1-координата которых равна нулю. Рассмотрим эти начальные условия. Тогда из (1.3) получим, что = О, яг = Д + Ь-Заметим, что корень (/1 — /3) многочлена Ф(г ) лежит справа от нуля, так как 1 — Ц = ж /2 0. Значит, область действительных движений в этом случае О, яг = Л + /а- Пусть теперь г/ 7 О, но очень мало. Тогда будет изменяться от —оо до числа, близкого к нулю (так как г = О — простой корень многочлена Ф(г ) при г/ = 0), а яг будет заключено между двумя числами, мало отличающимися от /1 = /3. Следовательно, действительное движение при малых значениях параметра г/ имеет место в областях 1 и 9. [c.203] Перейдем к вычислению инвариантов динамических систем, возникающих на (з — чисел вращения касательных векторных полей, которые индуцируются уравнениями Эйлера-Пуассона. [c.203] Данные преобразования содержат только алгебраические операции, вычисление интегралов от известных функций и обращение этих интегралов. Таким образом, уравнения (1.9), определяющие на двумерных инвариантных торах условнопериодическое движение, и есть те уравнения, которые должны существовать по теореме Лиувилля-Арнольда об интегрируемости. [c.205] Вернуться к основной статье