ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Динамические системы, возникающие на инвариантных торах задачи Горячева-Чаплыгина из "Методы качественного анализа в динамике твердого тела Изд2 " Сначала исследуем топологические свойства многообразия Е. На Е нет особых точек системы дифференциальных уравнений Эйлера-Пуассона. Действительно, особые точки отвечают стационарным вращениям (или относительным равновесиям) тела. Нетрудно проверить, однако, что на этих решениях интегралы энергии и момента зависимы. А такие случаи здесь условились не рассматривать. [c.153] Многообразие Е ориентируемо. Значит, каждая связная компонента Е является двумерным тором (как всякое связное, ориентируемое, компактное двумерное многообразие, допускающее касательное векторное поле без особых точек см., например, [62]). [c.153] Лемма 1. Если v мало, то Е — объединение двух торов. [c.153] Замечание. Будем увеличивать v. Тогда, по той же теореме Морса, количество связных компонент может измениться только тогда, когда интегралы (1.1) станут зависимыми. [c.154] Переменные 51 и 52 изменяются в интервалах [01, 61] и [02, 62], где многочлен Ф(г ) 0. Если /2 ф 0 то пересечение [01, Ь1]П П[а2, Ьг] пусто. В противном случае переменные 51 и 52 могут совпадать, а так как 5152 О, то при некоторых начальных данных на имеет место равенство 51 = 52 = 0. Следовательно, Ж1 = Ж2 = Жз = О и /2 = 0. [c.154] Числа Ог, Ьг ( = 1, 2) — простые корни многочлена Ф г), так как в противном случае на соответствующем инвариантном торе существовали бы асимптотические движения. Но этого быть не может в силу предположения о независимости интегралов (2.1). [c.154] Вернуться к основной статье