ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вопросы качественного анализа движения волчка Горячева —Чаплыгина Разделение переменных в случае Горячева-Чаплыгина из "Методы качественного анализа в динамике твердого тела Изд2 " Так как граница 8D = h- - V = 0 компактна и в некоторой ее окрестности нет критических точек функции У, то при малых О область Ve = О h + V е С D диффеоморфна прямому произведению 8D х [О, 1] (см., например, [47]). [c.137] Введем вD локальные координаты х,у х = xi.Xn-i), так, что Ж1,. .., Хп-1 — локальные координаты на многообразии 8D, а множества х, у у = уо С D являются уровнями функции Т. Будем считать, что в области D координата у О, причем у = О на границе 8D. Заметим, что функция Т(у) монотонно возрастает в окрестности нуля. [c.137] Траектории этих решений являются, конечно, геодезическими метрики Якоби. [c.137] Следовательно, при t = 0p = p = 0,a P 0. Значит, p t, Xq) = = t Pit, Жо), где Р — гладкая функция на R х 8D, причем Р(0, Жо) О при всех жо G 8D. [c.138] Лемма 3. При малых р О множество — гладкая гиперповерхность в D, диффеоморфная 8D. [c.138] Действительно, в этом случае и являются различными уровнями гладкой функции / = и поэтому не имеют общих точек. [c.139] Лемма 5. Существует ро О такое, что для всех точек я 6 О Ро расстояние д а) = р. [c.139] Теорема 2 ( лемма Гаусса ). Существует ро О такое, что для всех ре (О, ро] геодезические, исходящие из точек границы дО, пересекают гиперповерхности под прямым углом. [c.139] Замечание. Геодезические, выходящие из дв, ортогональны как в метрике др, так и в метрике йв, ибо эти метрики конформно эквивалентны. [c.139] Предположим противное, т.е. что некоторая геодезическая 7 с концом в точке Хо е дв не ортогональна (рис. 16). [c.139] Замечание. Можно показать, что при малых р О полоса (7р, заключенная между = dD и локально выпукла, т. е. геодезическая, соединяющая две достаточно близкие точки из ар, целиком лежит в ар. Это утверждение аналогично теореме Уайтхеда о выпуклых окрестностях в римановой геометрии [51]. Мы здесь не доказываем этот факт, так как в дальнейшем он не используется. [c.140] Лемма 6. Не существует решения уравнений движения, траектория которого пересекает границу дВ более чем в двух различных точках. [c.140] Предложение 1. Если траектория некоторого решения уравнений движения имеет с дВ две общие точки, то других общих точек нет, и решение является периодическим. [c.140] Периодические решения, о которых идет речь в предложении 1, по аналогии с системами с одной степенью свободы, назовем либрациями. Вращениями естественно назвать периодические решения, траектории которых пе имеют общих точек с границей области возможных движений. Легко сообразить, что в натуральных механических системах периодических решений другого типа нет. [c.141] Если Н тахто(—У), то В совпадает со всем конфигурационным пространством, и задача о существовании периодических решений уравнений движения сводится к нахождению замкнутых геодезических линий гладкого риманова многообразия (М, йр). Каждой замкнутой геодезической отвечают два различных периодических решения исходной задачи (движения по этой кривой в противоположных направлениях). Они являются, конечно, вращениями. Существуют оценки числа замкнутых геодезических, зависящие отчасти от топологического строения М, отчасти от римановой метрики йр [52]. Наилучшей универсальной нижней оценкой является пока 2 [53]. Таким образом, на (2п — 1)-мерных уровнях интеграла энергии с постоянной Н тах(—У) существуют, по крайней мере, четыре различных периодических решения. [c.141] Следствие 4. Если граница области возможных движений имеет к связных компонент, то количество различных либраций, по крайней мере, к — 1. [c.141] Следствие 5. Предположим, что граница дВ несвязна. Тогда для любой связной компоненты Е многообразия дВ существует либрационное периодическое решение с несамопере-секающейся траекторией и с концами на Е и дВ Е. [c.141] Обозначим через множество точек из области В, отстоящих от границы на расстоянии О в метрике Якоби. [c.141] Многообразие ограничивает некоторое гладкое многообразие с краем N С В. Покажем, что в N существует пе-самопересекающаяся геодезическая 7 с концами на Р и (5, ортогональная дМ = в своих концах. [c.142] Вернуться к основной статье