ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Принцип наименьшего действия и периодические решения в динамике твердого тела Аналог теоремы Хопфа-Ринова из "Методы качественного анализа в динамике твердого тела Изд2 " Замечание. В 4 гл. 1 доказано, что канонические уравнения с гамильтонианом (5.1) не имеют даже действительнозначных аналитических интегралов. Однако это утверждение и только что доказанная теорема 3 независимы (т. е. их нельзя формально вывести одно из другого). [c.125] Наиболее простой случаи движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки был изучен Л. Эйлером (ж = = у = Z = 0), затем, с геометрической точки зрения. [c.125] Пуансо. Другой случай А = В, х = у = 0) был исследован Ж. Лагранжем и С. Пуассоном. Позднее К. Г. Якоби доказал, что в этих случаях общие решения уравнений движения являются однозначными мероморфными функциями времени, рассматриваемого как комплексное переменное [22, 40]. [c.126] Опираясь на этот результат, С. В. Ковалевская поставила следующую задачу найти все случаи, когда общее решение задачи о тяжелом твердом теле с неподвижной точкой представляет собой функции, мероморфные во всей плоскости комплексного времени. В результате исследований С. В. Ковалевской выяснилось, что эти случаи весьма немногочисленны к классическим случаям Эйлера-Пуансо и Лагранжа-Пуассона надо добавить еще один случай, когда А = В = = 2С, 2 = 0 случай Ковалевской). [c.126] В случае, разобранном С. В. Ковалевской, так же как и в ранее известных, система уравнений движения имеет дополнительный первый интеграл, что и обеспечило возможность их интегрирования в квадратурах. При этом оказалось, что в некоторых естественных переменных переменные Эйлера-Пуассона) во всех случаях интегрируемости дополнительные интегралы являются многочленами, так же как и классические первые интегралы. Таким образом, общее решение представляется мероморфными функциями времени как раз в тех случаях, когда существует новый алгебраический интеграл. Этот результат, естественно, поставил общую задачу о связи между существованием алгебраических интегралов аналитических систем дифференциальных уравнений и мероморфностью общего решения. На важность этой задачи впервые обратил внимание Пенлеве [41]. [c.126] Выяснилось, однако, что однозначной связи здесь нет. Приведем соответствующие контрпримеры для гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. [c.126] Пример канонической системы с гамильтонианом (1) показывает, что из неоднозначности общего решения еще не вытекает несуществование однозначных первых интегралов. Однако, как утверждает теорема 1, если на ветвление решений наложить дополнительные условия, которые выполняются в общем случае, то из неоднозначности общего решения вытекает отсутствие дополнительных однозначных интегралов гамильтоновых уравнений. [c.129] Отметим в заключение, что вековое множество задачи о вращении тяжелого несимметричного твердого тела вокруг неподвижной точки играет важную роль при доказательстве отсутствия действительного аналитического интеграла (гл. III), при исследовании рождения изолированных периодических решений ( 2 гл. IV) и, наконец, при решении задачи Пенлеве о ветвлении решений и несуществовании однозначных интегралов ( 3-4 гл. V). Это позволяет с разных сторон рассмотреть классическую задачу об интегрируемости уравнений динамики твердого тела. [c.129] Согласно принципу наименьшего действия в форме Якоби движения натуральной механической системы внутри области В являются геодезическими линиями метрики dp = [Н + + f)ds . [c.130] Когда Н тахм(—У), то В совпадает с М и В, dp) — риманово многообразие. В противном случае граница дВ области В не пуста, и метрика Якоби dp имеет на дВ особенность (длина кривых, лежащих на границе, равна нулю). [c.130] Пусть д = ((/1,. .., дп) — некоторые локальные координаты на М. [c.130] Следствие 1. Если д 1) — решение уравнений движения с начальными данными (0) = до, (/(О) = О, то д 1) = д —Ь). [c.131] Таким образом, если в некоторый момент времени точка т 1), т В, достигла границы дВ, то скорость точки обращается в нуль и в последующие моменты т движется в обратную сторону по той же траектории с той же по величине скоростью. Поэтому в случае, когда дВ не пуста, естественно отождествить геодезические метрики Якоби (определенные внутри области В) с траекториями движения натуральных механических систем. [c.131] Всюду ниже область В считается компактной и связной, а также предполагается, что на границе нет критических точек потенциала Т. Другими словами, исключаются из рассмотрения те значения к, при которых уравнения движения имеют положения равновесия. Множество исключительных значений полной энергии имеет нулевую меру. [c.131] Геометрия геодезических в области В, имеющей края, не похожа на привычную геометрию римановых пространств. Например, если риманово пространство компактно, то любые две его точки можно соединить хотя бы одной геодезической [45, гл. II]. [c.131] Это число назовем расстоянием между точкой то G D и границей 8D. Если д т) = О, то то G dD. Заметим, что когда 8D связна, то d m, а) = д(т) для всех а G dD. [c.132] Теорема 1. Любую точку ае D можно соединить с некоторой точкой границы dD геодезическо длины д а). [c.132] Лемма 2. Существует о О такое, что при всех О о точка m t) не может находиться в области = = /i + У е бесконечно долго. [c.133] Следствие 3. Точка m t) не может асимптотически стремиться к 8D при t оо. [c.133] Вернуться к основной статье