ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Несуществование однозначных интегралов и ветвление решений в динамике твердого тела Теорема о несуществовании однозначных интеграДоказательство теоремы из "Методы качественного анализа в динамике твердого тела Изд2 " Как уже отмечалось, исследование движения твердого тела при малых значениях параметра /х математически эквивалентно изучению быстрых вращений то есть случаю, когда Ш). Мы коснемся здесь лишь вопросов, связанных с применением метода малого параметра А. Пуанкаре. [c.106] Отысканию периодических решений уравнений движения быстро вращающегося тела с помощью метода малого параметра посвящены работы Ю. А. Архангельского и его учеников см. обзорную статью [37]). В этих работах в уравнения Эйлера - Пуассона вводится малый параметр е = где с — постоянная, зависящая от начального положения тела, а шо — начальная угловая скорость вращения вокруг большей или меньшей осей инерции. Уравнения движения при этом приобретают вид системы двух квазилинейных уравнений второго порядка, аналитически зависящих от параметра е. Если = О то есть о о = оо), то решения этой системы не имеют механического смысла, а при малых е ф О они представляют быстрое вращение твердого тела. [c.106] Для отыскания периодических решений, на наш взгляд, более естественно использовать уравнения движения в гамильтоновой форме. Для канонических систем дифференциальных уравнений метод малого параметра Пуанкаре хорошо разработан и дает более сильные результаты. Эта идея впервые реализована в работе [34] для случая вращения динамически симметричного тела в ньютоновском поле сил и независимо автором [38] в задаче о движении несимметричного тяжелого твердого тела. [c.106] Исследования Ковалевской, Ляпунова и других авторов в динамике твердого тела показали, что общее решение уравнений движения представляется однозначными функциями времени только в классических случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, как раз тогда, когда существует дополнительный однозначный интеграл. Долгое время оставалось неясным, является ли это обстоятельство случайным совпадением, или же в его основе лежат какие-либо глубокие причины. В этой главе методом малого параметра Пуанкаре доказано, чго именно существование бесконечного числа неоднозначных решений препятствует появлению нового однозначного аналитического интеграла в общем случае. [c.107] Функция Ж г, ip, fi) предполагается действительной аналитической функцией в прямом произведении DxT (p mod 2тг х X -е, е) (D — область в R /i, /2 ). [c.107] Действительно, это равенство справедливо для действительных значений ip. В общем случае, когда II, оно вытекает из связности II и единственности аналитического продолжения. Заметим, что когда /х (—е, е), функция Ж 1, ср, /х) аналитична по переменным 1, I2 в области A V, и), если и достаточно мало. [c.108] С начальным условием /х) = 2 o(io) такое, что ряд (1.3) сходится при всех А X, если /х достаточно мало. [c.109] Доказательство этого утверждения можно найти в [1, гл. II 3]. [c.109] Если А е Г, то эти ряды сходятся при малых значениях параметра /X. [c.110] Будем говорить, что аналитическая вектор-функция /( ), еГ, неоднозначна вдоль Г, если она испытывает скачок 7 О после обхода контура Г. [c.110] например, функция 1 1 1°неоднозначна вдоль Г, то при малых значениях параметра /х возмущенное решение (1.5) тоже неоднозначно вдоль контура Г. [c.110] Так как решения (1.5) непрерывны по начальным данным, то неоднозначность функции / ( р°), вдоль контура Г будет иметь место при всех / = из некоторой малой области и С В. При этом скачок = (/°) ф О, если II. [c.110] Если (/, р) е Д( , /у) X о (у С /у — достаточно мало), то этот ряд сходится при малых значениях параметра /х. [c.111] Лемма 1. Функция не зависит от 1р. [c.111] Действительно, если (/, р) х Т , то из невырожденности невозмущенной функции вытекает, что не зависит от 1р ( 1, гл. I). Если же е О, то это утверждение следует из связности области И. [c.111] Функция Т 1, (р, /х) аналитична, и ее можно разложить в сходящийся степенной ряд по /х. Предположим, что в этом разложении коэффициент при /х р 0) отличен от нуля. Из леммы 2 вытекает, что р 1. [c.112] Так как гессиан д Жо/дР фО, то в некоторой малой области V С IV С В производная дЖо/д1г ф 0. Следовательно, в этой области уравнение Жо Ь, /2) = можно разрешить относительно 1х и подставить полученное выражение в функцию о(/1, Ь)- Тогда = о(Д( о, Ь), Ь)- Так как Жо и 0 зависимы, то = ё . Жо), где 5 (ж) — аналитическая функция в интервале (тшу Ж ), таху Ж )). Заметим, что 91 х) аналитична в малой комплексной окрестности этого интервала. [c.112] Вернуться к основной статье