ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Рождение изолированных периодических решений из семейств периодических решений задачи Эйлера-Пуансо из "Методы качественного анализа в динамике твердого тела Изд2 " Все детали доказательства (которое мы ниже кратко воспроизводим) можно найти в книге [1, пп. 42, 79] там же рассмотрен случай систем со многими степенями свободы. [c.87] Поэтому отбросим условие Тх = 0. Из уравнений движения легко вывести, что Т2 = /xJ, где J — аналитическая функция начальных данных и параметра /х. [c.88] Применим теорему Пуанкаре к задаче о вращении твердого тела с неподвижной точкой в слабом поле сил тяжести. [c.92] Напомним некоторые обозначения. Переменные действие-угол невозмущенной задачи снова обозначим через 11121з 1 2 Рз (см. гл. II). Переменная 1з — интеграл площадей его постоянную обозначим 1°. Отношение частот и)11и 2 квазипериодических движений на инвариантных торах задачи Эйлера-Пуансо зависит только от 2 о/- моментов инерции А, В, С. Эта функция в гл. II обозначена через 7. [c.92] Обозначим снова через х, у, г координаты центра тяжести тела в главных осях инерции. [c.92] Осталось проверить условие 2). Если I = /д G 5S, то Ш2/0Л = то, то G Z 0 и = Нт,-1 7 О ( 1 гл. III). [c.94] Замечание. Можно указать примеры канонических систем дифференциальных уравнений, мало отличающихся от интегрируемых, для которых вековое множество ёё не совпадает с множеством 9 резонансных торов невозмущенной задачи и которые удовлетворяют теореме А. Пуанкаре о рождении изолированных периодических решений. [c.94] Это утверждение доказывается так же, как теорема 3. [c.95] Замечание. Если А = В и х = О, то задача относится к числу интегрируемых (случай Лагранжа). В этом случае резонансные инвариантные торы (3.5) невозмущенной задачи не разрущатся при добавлении возмущения они перейдут в резонансные торы возмущенной задачи, снова сплошь заполненные траекториями периодических решений. [c.95] Исследуем бифуркацию этого семейства периодических решений. [c.96] Теорема 5. Пусть А = ВфС, хфО и Н/О, Сф Н. Тогда на резонансных торах (3.6) приведенной задачи Эйлера-Пуансо рождаются пары изолированных периодических решений возмущенной системы при малых значениях параметра /X. Они аналитически зависят от ц, и одно из решений каждой пары устойчиво в первом приближении, а другое неустойчиво. [c.96] В предположениях теоремы д Жг/дХ ф О, когда Ж 1дУ = = 0. Так как при Аф С невозмущенная задача невырождена и линии уровня функции Жо не имеют перегибов, то справедливость утверждения вытекает из теоремы Пуанкаре о рождении периодических решений. [c.96] Вернуться к основной статье