ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Динамические эффекты, препятствующие интегрируемости уравнений движения несимметричного тела Характеристические показатели. Теорема Пуанкаре о периодических решениях из "Методы качественного анализа в динамике твердого тела Изд2 " Задача о существовании дополнительного интеграла уравнений вращения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, аналитического по каноническим переменным и параметру (л, впервые поставлена А. Пуанкаре в п. 86 его Новых методов небесной механики . Анализируя разложение возмущающей функции, А. Пуанкаре показал, что (в нашей терминологии) вековое множество не является всюду плотным, и, следовательно, его общая теорема об отсутствии новых аналитических интегралов не применима ...ничто не препятствует существованию третьего однозначного интеграла, если только якобиан трех интегралов обращается в нуль, как только п [у нас и , В. К.) становится кратным п [у нас и)1, В. К.)] отсюда следует, что этот третий интеграл не может в общем случае быть алгебраическим. [c.72] Поскольку сформулированные в этой главе условия являются необходимыми, но не достаточными, ничто не доказывает, что этот третий интеграл существует... [1, с. 226]. [c.73] Теория рождения периодических решений в канонических системах дифференциальных уравнений, близких к интегрируемым, была разработана А. Пуанкаре для целей небесной механики. В данной главе устанавливается применимость этих результатов к классической задаче о движении тяжелого твердого тела с закрепленной точкой. Тем самым удается существенно расширить класс известных периодических решений. В этой же главе исследовано воздействие возмущения на сепаратрисы неустойчивых периодических решений задачи Эйлера-Пуансо — постоянных вращений вокруг средней оси эллипсоида инерции. Сложное поведение траекторий уравнений движения несимметричного тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки (в частности, рождение многочисленных изолированных периодических решений и расщепление сепаратрис) несовместимо с существованием нового независимого аналитического интеграла. [c.74] В этом параграфе содержатся некоторые утверждения теории дифференциальных уравнений, принадлежащие, в основном, А. Пуанкаре, которые будут использованы нами в дальнейшем. [c.74] Теорема Пуанкаре-Ляпунова. Характеристический многочлен р ) матрицы монодромии периодического решения гамильтоновой системы (1.4) возвратный р)Х = = ЛХ1/Л). [c.76] Доказательство можно найти, например, в [4, 20]. [c.76] Значит, если Л — корень характеристического уравнения р х) = О, то 1/Л — корень того же уравнения. Так как многочлен р х) имеет действительные коэффициенты, то его корнями являются также числа Л и 1/Л. [c.76] Отсюда, в частности, следует, что характеристические показатели периодического решения автономной гамильтоновой системы попарно равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. При этом два из них всегда равны нулю. [c.77] В случае п = 2 оставшиеся характеристические показатели либо оба действительны, либо оба чисто мнимы. Если они отличны от нуля, то периодическое решение называется невырожденным. Невырожденное решение с действительными характеристическими показателями называется гиперболическим, а с чисто мнимыми — эллиптическим. Эллиптическое решение устойчиво в первом приближении, а гиперболическое неустойчиво. [c.77] В качестве следствия получаем следующее утверждение если п — то характеристических показателей решения х 1, ) отличны от нуля, то на его траектории интегралы 1,. .., зависимы. В частности, на траекториях невырожденных периодических решений двумерной гамильтоновой системы интеграл энергии Ж и любой первый интеграл зависимы. [c.78] Для рассматриваемых ниже приложений особый интерес представляет случай, когда система (1.7) имеет первый интеграл g x, а), аналитический в К х (—е, е). [c.78] Введем в рассмотрение матрицу V, которая получается из матрицы Y порождающего решения x t, , 0) вычеркиванием последнего столбца и первой строки. [c.79] Теорема (А. Пуанкаре). Если V / О, то при достаточно малых а существует аналитическая функция а), С(0) = С7 такая, что решение x t, (а), а) системы (1.7) — периодическое с периодом Т порождающего решения x t, , 0). [c.79] При этом в уравнениях (1.10) период Т является неизвестной функцией а. [c.80] Вернуться к основной статье