ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Несуществование дополнительного интеграла, аналитического в специальных канонических переменНесуществование дополнительного интеграла, аналитического в переменных Эйлера-Пуассона из "Методы качественного анализа в динамике твердого тела Изд2 " Так как задача Эйлера-Пуансо невырождена (теорема 3 гл. II), функция не зависит от р. Согласно лемме Пуанкаре ( 1 гл. I), функции Жо и. о зависимы на множестве С Д° С Д°. Вековое множество не является всюду плотным в Д° (теорема 1). Это обстоятельство не позволило А. Пуанкаре на основании доказанных им общих теорем заключить, что рассматриваемая задача не имеет аналитических интегралов, отличных от классических [1, п. 86]. [c.62] Поэтому он равен нулю на любой прямой /г = и, следовательно, есть тождественный нуль во всей области Д°, так что функции Жо и 0 зависимы. Однако при помощи метода А. Пуанкаре [1, п. 81] можно доказать, что если существует некоторый независимый интеграл 1, р, //), то существует и такой, для которого Жо и о не являются зависимыми. [c.62] К сожалению, гамильтониан задачи Эйлера-Пуансо Жо не аналитичен в Д°, так как прямые 2Жо 1, Ь) = ЦВ являются для него особыми (см. 2 гл. II). Поэтому мы будем доказывать отсутствие новых интегралов, аналитических в переменных, не имеющих аналитических особенностей в окрестности вращений вокруг средней оси эллипсоида инерции (специальные канонические переменные, переменные Эйлера-Пуассона). При этом доказательства несуществования интегралов сильно усложняются в техническом отношении. [c.62] Обозначим через D область на кольце К, содержащую при некотором значении модуля момента 0° ф О, Н° G° сепаратрисы неподвижных точек 3 и 4 (заштрихована на рис. 10). Очевидно, что эти сепаратрисы будут расположены в области D при всех значениях G из малого интервала (ai, аг) С R, содержащего точку G° п2 ai 0). [c.63] Следствие 1. В фазовом пространстве переменных L, I, G, g нет аналитического интеграла приведенной системы канонических уравнений движения несимметричного тяжелого твердого тела с неподвижной точкой, независимого от интеграла энергии Ж, 2тг-периодического по угловым переменным I, g и аналитического по параметру л в окрестности значения fj, = 0. [c.63] Обозначим матрицу размером 2 х 3 в правой части равенства (3.3) через R. Заметим, что дЖо/дрх = dS o/dipi = 0. Это вытекает из невырожденности задачи Эйлера-Пуансо и леммы Пуанкаре (см. 1 гл. 1). Пусть (Д, /г) 6 П Д°. Тогда ранг матрицы R равен 1. Значит, при фиксированном значении переменной I2, па инвариантных кривых отображения S кольца К на себя ( 1 настоящей главы), составляющих множество SSflD, матрица R тоже имеет ранг 1. Согласно лемме 1 множество 5S П D является ключевым для класса A D). Так как все миноры второго порядка матрицы Якоби R при любом фиксированном значении I2 являются аналитическими функциями в области D, то в области D х (ai, аг) ранг R равен 1, то есть функции Ж и зависимы. [c.65] Так как функции Ж и зависимы, то Jq =0. Предположим, что в разложении (3.4) коэффициент при р 1) не равен тождественно нулю. [c.65] Аналогично доказывается, что dS o/dl = 0. [c.66] Отметим, что при фиксированных значениях переменных L = и I = 1° минимальное и максимальное значение функции Жо Ь , G) достигается в точках ai и аг и только в них. [c.66] Замечание 1. Нетрудно доказать, что система с функцией Гамильтона (3.1) не допускает даже частных аналитических интегралов, аналитически зависящих от р, при ограничениях на постоянную энергии (ср. с 3, 4 главы I). [c.67] Замечание 2. Теорема 1 фактически утверждает, что канонические уравнения задачи о вращении тяжелого несимметричного твердого тела с неподвижной точкой не допускают, кроме интегралов энергии и площадей, третьего аналитического интеграла, находящегося в инволюции с интегралом площадей. Последнее условие можно отбросить, но это потребует более громоздкого доказательства (ср. с [1, п. 86]). [c.67] При доказательстве теоремы 1 мы использовали только два первых равенства, куда входят функции Жо и Ж1. Значит, теорема 1 справедлива для более общих систем канонических уравнений с гамильтонианом вида (3.5). [c.67] Для реальных движений твердого тела сз = 1. [c.69] Теорема 3. Если А В С и форма Ух невырождена т.е. 1 0), то уравнения (4.1) не имеют в области /5 С К четвертого аналитического интеграла, не зависящего от классических интегралов энергии, площадей и геометрического. [c.69] У = -Р(ж71 -Ь г/72 + 73), где Р — вес тела, а (ж, у, г) — координаты центра тяжести в главных осях инерции. [c.69] Следствие 2. Если тело несимметрично и центр тяжести не лежит в точке подвеса, то уравнения Эйлера-Пуассона задачи о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки не имеют четвертого аналитического интеграла, независимого от классических. [c.69] Замечание. Это утверждение существенно усиливает теорему Пуанкаре-Гюссона об отсутствии в этом случае нового алгебраического интеграла [25]. [c.69] Следствие 3. Если А В С и х +у +г ф О, то уравнения Эйлера-Пуассона (4.1) с потенциалом (4.2) не имеют нового аналитического интеграла, независимого от классических. [c.70] Замечание. Это утверждение является существенным усилением теоремы Ю. А. Архангельского об отсутствии в рассматриваемой задаче нового алгебраического интеграла [28]. [c.70] Следствие 4. Если А В С и хотя бы один из интегралов (4.4) отличен от нуля, то уравнения Эйлера-Пуассона задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки в ньютоновском поле сил не имеют дополнительного аналитического интеграла, независимого от классических. [c.71] Вернуться к основной статье