ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Неинтегрируемость задачи о вращении несимметричного тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки Структура векового множества из "Методы качественного анализа в динамике твердого тела Изд2 " Здесь К(Л) — полный эллиптический интеграл первого рода с модулем А, Р — эллиптический интеграл первого рода. [c.53] Задача о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой как возмущение интегрируемого случая Эйлера-Пуансо впервые поставлена А. Пуанкаре в пятой главе Новых методов небесной механики . [c.53] Используя разделение специальных канонических переменных в функции Гамильтона задачи Эйлера-Пуансо, Ю.А.Садов получил явные выражения для переменных действие-угол [18]. Отметим, что формулы, определяющие переменные действие, были найдены иным способом в квантовой механике уже в начале XX в., в связи с исследованием спектров многоатомных молекул [19]. Дело в том, что свободно вращающееся твердое тело является в классической квантовой механике простейшей моделью невозбужденной молекулы. Как известно, переменные действие играют определяющую роль в условиях квантования Бора - Зоммерфельда. [c.54] Отметим в заключение, что вычисления Ю. А. Садова коэффициентов Фурье разложения возмущающей функции повторяют в современных обозначениях вычисления Якоби из уже упоминавшейся работы [22]. [c.54] Коэффициенты этого разложения зависят от Д, /2, /3. Их легко вычислить, использовав формулы 4 главы II. [c.55] В частности, коэффициенты (1.1) аналитичны в Д°. [c.56] При этом, очевидно, о- Со и д до 1 (числа Ai, А2, Со и 7о в конечном счете зависят только от А, В, С). Следовательно, существует номер N A, В, С) N Ni) такой, что при 2п N равенство (1.4) не может выполняться. [c.58] Рассмотрим теперь случай 2, когда ф О, z = 0. [c.58] Напомним ( 1, гл. I), что вековым множеством мы называем также множество резонансных торов в фазовом пространстве невозмущенной задачи, отвечающих значениям переменных действие / SS. Опишем это множество, используя специальные канонические переменные L, G, I, g (значение интеграла площадей Н = onst зафиксировано). [c.59] Так как G = ф О (безразличное равновесие тела, когда G = О, мы исключаем из рассмотрения), то g- е 0. Следовательно, за конечное время переменная g станет равной 2тг, и точка к снова вернется на кольцо К, подойдя к ней с противоположной стороны . [c.59] Предложение 1. Пересечение S Ki (i = 1, 2, 3, 4) состоит из бесконечного числа замкнутых инвариантных кривых отображения S] эти кривые накапливаются у сепаратрис, расположенных на границе области Ki. [c.61] Обозначим через D область кольца К, содержащую сепаратрисы неустойчивых неподвижных точек 3 и 4. [c.61] Вернуться к основной статье