ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задача о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой как возмущение случая Эйлера — Пуансо Переменные действие-угол из "Методы качественного анализа в динамике твердого тела Изд2 " К настоящему времени в динамике известно довольно много интегрируемых задач. Решение всех таких задач, имеющих п степеней свободы, основано на существовании п первых независимых интегралов в инволюции. В этих случаях согласно теореме Лиувилля [2] уравнения движения решаются в квадратурах. Можно показать Щ, что существование полного набора интегралов в инволюции влечет следующую картину поведения траекторий в 2п-мерном фазовом пространстве. Все фазовое пространство разбивается на области, расслоенные совместными уровнями первых интегралов на замкнутые п-мерные инвариантные многообразия. Если эти многообразия компактны, то они суть п-мерные торы, несущие на себе квазипериодические движения. [c.35] Отыскание случаев интегрируемости уравнений динамики было в основном делом XIX в. Якоби, Лиувилль, Ковалевская и др.). Но с появлением работ Пуанкаре стало ясно, что уравнения динамики в общем случае неинтегрируемы интегралы не только неизвестны, но и не существуют вовсе, так как траектории в целом не ложатся на инвариантные многообразия [9]. [c.35] До исследований Пуанкаре в классических работах Брунса и Пенлеве [10, 11] был получен ряд результатов отрицательного характера, касающихся существования новых алгебраических интегралов уравнений задачи трех тел. Однако эти изящные отрицательные результаты не имеют какого-либо значения в динамике [12, с. 120]. Свойство интегралов быть алгебраическими в очень сильной степени зависит от выбора независимых переменных, что не соответствует инвариантной природе уравнений динамики. [c.36] Теорема Пуанкаре о несуществовании аналитических интегралов была доказана впервые в знаменитом мемуаре О проблеме трех тел и об уравнениях динамики [13] с использованием невырожденных периодических решений. Другое доказательство неинтегрируемости, данное в пятой главе Новых методов небесной механики [1], отличается от первого, как замечает сам Пуанкаре, только формой. В том и другом случае используется по существу тот факт, что резонансные торы общего положения невозмущенной задачи распадаются при возмущении. [c.36] Более того, основная идея доказательства и более поздней теоремы Зигеля о неинтегрируемости гамильтоновых систем вблизи положений устойчивого равновесия [14] тоже восходит к Пуанкаре. Рассуждения основаны на подробном исследовании некоторых множеств долгопериодических решений канонических систем дифференциальных уравнений. [c.36] В работах Пуанкаре говорится о несуществовании однозначных интегралов . По существу Пуанкаре заимствовал этот термин из известных работ Абеля и Якоби, касающихся обращения эллиптических и гиперэллиптических интегралов. Однако к функциям комплексного переменного термин Пуанкаре не имеет прямого отношения. Это обстоятельство является часто причиной непонимания физиками-теоретиками результатов Пуанкаре [12, с. 120]. Вопрос о существовании однозначных интегралов в смысле теории функций комплексного переменного мы рассмотрим в главе V. [c.36] Будем считать параметр ц малым. Тогда рассматриваемая задача является возмущением интегрируемой задачи Эйлера-Пуансо. Отметим, что исследование канонической системы уравнений с гамильтонианом 3 + при малых значениях параметра /х математически эквивалентно исследованию быстрых вращений тела в умеренном поле тяготения. [c.37] Как и во всякой интегрируемой задаче с компактными уровнями энергии, в задаче Эйлера-Пуансо существуют канонические переменные действие-угол 7, (р, в которых функция Гамильтона 3 зависит только от действия 1. Геометрический анализ переменных действие-угол дает возможность установить новые свойства представления Пуансо. [c.37] как обычно, д, ср, ф — углы Эйлера (обобщенные координаты в динамике твердого тела с неподвижной точкой), я Р-в, Р(р, Рф — им сопряженные канонические переменные. [c.38] Это утверждение, доказываемое с помощью формул сферической тригонометрии, можно найти, например, в книгах [15, 26]. [c.38] Отметим, что специальные канонические переменные в динамике твердого тела аналогичны каноническим переменным Делоне в интегрируемой задаче двух тел [17]. [c.39] Не теряя общности, можно считать, что А В С. [c.39] При фиксированном значении С / О линии уровня функции на плоскости (/, Ь)бК изображены на рис. 5. Заметим, что точки на этой плоскости, /-координаты которых отличаются на 2тг, соответствуют одним и тем же точкам фазового пространства. Производя соответствующее отождествление, получим двумерное кольцо К, расслоенное на замкнутые линии уровня функции 3. [c.39] Область Д в координатах Ii, I2 есть снова Д = h, h h О, /i /2 . В канонических переменных действие-угол I, (fi функция имеет вид S h I2 h Ф1 Ф2 Фз), то есть зависит только от h, h - Используя формулу (1.1), легко получить, что линии уровня функции 23 (h, h)/ в координатах действие суть прямые линии, проходящие через начало координат. Прямые II = О, /i = I2 (лежащие в Д) отвечают вращениям твердого тела вокруг меньшей и большей осей инерции. Вращениям вокруг средней оси инерции соответствуют точки из Д, расположенные на двух прямых 23 Ii, I2) = / . [c.40] Отметим, что положение прямых линий 25 = зависит от двух параметров — отношении моментов инерции тела. Когда В А, эти прямые стремятся к прямой Ii = 0 когда В С, они стремятся к паре прямых /i = I2. [c.40] Положим u)i I) = OS Idli (г = 1, 2). Величины u)i, u)2 являются частотами квазипериодических движений на двумерных инвариантных торах задачи Эйлера-Пуансо. [c.41] Лемма 3. При Ii О, I2 О функция hih, непрерывна и монотонно убывает, причем dli/dl2 = —W2/W1. [c.41] Значения функции 7 являются числами вращения потоков, возникающих на соответствующих двумерных торах задачи Эйлера-Пуансо ([1, п. 86 20]). [c.42] Лемма 4. Если р (1/А, 1/В), то dj/dp 0 если р е (1/В, 1/С), то д /др 0. [c.42] Вернуться к основной статье