ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Несуществование аналитических интегралов канонических систем, близких к интегрируемым Обобщение теоремы Пуанкаре об отсутствии аналитических интегралов из "Методы качественного анализа в динамике твердого тела Изд2 " Вниманию читателей предлагается второе издание монографии В. В. Козлова Методы качественного анализа в динамике твердого тела . Эта книга вышла 20 лет назад и давно стала библиографической редкостью. По сути дела она является докторской диссертацией В. В. Козлова, защищенной в 1978 году. [c.9] Эта монография оказала существенное влияние на развитие современной аналитической динамики и теории динамических систем. Ряд изложенных в ней результатов стали классическими, часто цитируются и развиты многими авторами в различных направлениях. [c.9] В шестой главе развиваются вариационные методы изучения траекторий в областях возможных движений с краем. После теоремы Зейферта 1948 г. о либрациях в диске, основные результаты в этом направлении получены В. В. Козловым и С. В. Болотиным. Обзор достижений в этой области содержится в работе В. В. Козлова Вариационное исчисление в целом и классическая механика (Успехи математических наук, 1985, т. 40, вып. 2, с. 33-60). [c.10] По прошествии двадцати лет книга является вполне современной. Она не отягощена общностью и абстрактностью изложения, и ее смело можно рекомендовать молодым исследователям как введение в широкую область современных качественных методов. [c.10] Задача о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки наряду с задачей трех тел является одной из самых знаменитых задач динамики. [c.11] В истории этих классических задач можно найти много общего как в характере полученных результатов, так и в путях применения математического аппарата. Приведу некоторые, на мой взгляд, наиболее существенные параллели. [c.11] Правда, в целом задаче трех тел повезло все же больше начиная с исследований А. Пуанкаре, эта задача и разнообразные ее варианты постоянно были первоочередным объектом приложения теоретических новинок. Так, например, созданный недавно С. Смейлом общий метод топологического анализа натуральных систем с симметрией был апробирован им на задаче трех тел, и только впоследствии аналогичные результаты были получены рядом авторов в динамике твердого тела с учетом специфики этой задачи. [c.12] Таким важным проблемам, возникшим в небесной механике, как вопросы существования новых аналитических (а не только алгебраических) первых интегралов, отыскание периодических решений с помощью метода малого параметра А. Пуанкаре и методов вариационного исчисления в целом, расщепление сепаратрис, в динамике твердого тела не было уделено должного внимания. [c.12] Правда, есть ряд работ, посвященных нахождению периодических решений методом малого параметра (см., например, обзорную статью [37]). Однако эти работы не исчерпывают всех возможностей, которые даст метод А. Пуанкаре. [c.12] К каждой главе написан исторический очерк, в котором кратко рассказано об истории рассмотренного круга вопросов и об основных относящихся сюда результатах. [c.13] Предполагается, что читатель знаком с обычным курсом аналитической механики (в частности, с основными фактами динамики твердого тела). Достаточно, например, знакомства с учебником В. И. Арнольда Математические методы классической механики (М., Паука , 1974). При изложении материала часто используется известная теорема Лиувил-ля-Арнольда об интегрируемых гамильтоновых системах, а также связанные с ней идеи и понятия, такие, как инвариантные торы, квазипериодические движения на торах, усреднение и т. д. [c.13] Содержание настоящей книги составили результаты, полученные автором в 1971-1977 гг. Я считаю своим долгом выразить благодарность чл.-кор. АН СССР профессору В. В. Румянцеву и профессорам В.И.Арнольду, В.М.Алексееву и Ю. А. Архангельскому за их внимание и советы, которыми я многократно пользовался. [c.13] Из текста всегда будет ясно, о каком множестве идет речь. [c.15] Обозначим через А М) класс функций, аналитических в области М С К . [c.15] Определение 2. Множество N С М называется ключевым множеством для класса А М), если для любой функции / из А М), равной нулю на ТУ, справедливо равенство / = О во всей области М. [c.15] Теорема 1 является обобщением известного результата А. Пуанкаре о несуществовании аналитических интегралов канонических систем [1, гл. V 2, гл. XIV] в случае, когда вековое множество задачи не всюду плотно в области В. Распространение этой теоремы на системы с большим числом степеней свободы не представляет затруднений. [c.16] Доказательство теоремы 1 опирается на ряд вспомогательных утверждений. [c.16] Очевидно, что ё Г) = О, когда / бЙ ПСи в области G. [c.18] Но это противоречит условию 2) теоремы 1. [c.18] Вернуться к основной статье