ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Постановка плоской задачи термоупругости в напряжениях для многосвязных тел из "Введение в термоупрогость " Рассмотрим плоское напряженное состояние Л +1-связного тела в плоском температурном поле. [c.89] Пусть плоское тело ограничено несколькими замкнутыми контурами, из которых наружный контур Е охватывает все остальные (пластина с N отверстиями) (рис. 15). Разрешающее уравнение рассматриваемой задачи (4.1.21) содержит функцию Р, которая имеет непрерывные производные до четвертого порядка. [c.89] Так как напряжения Оу и а у есть однозначные функции, то производные от функции Р, начиная с производных второго порядка, являются также однозначными. Для односвязного тела однозначность вторых производных определяет однозначность и самой функции. [c.89] Указанные условия однозначности можно было бы получить как частный случай соответствующих условий однозначности для пространственной задачи теории упругости ( 2.3). Однако в целях лучшего уяснения существа рассматриваемого вопроса здесь приводится независимый вывод этих условий в системе ортогональных криволинейных координат п. [c.90] Условия однозначности для перемещений в плоской задаче упругости впервые выведены Мичеллом [64]. [c.93] Таким образом, постановку плоской задачи термоупругости в напряжениях можно резюмировать следующим образом. [c.93] Необходимо определить функцию напряжений Р х,у), удовлетворяющую дифференциальному уравнению (4.1.21) (плоское напряженное состояние) или дифференциальному уравнению (4.1.23) (плоская деформация), граничным условиям (4.1.31) и (4.1.32) на наружном контуре Ь и соответствующим граничным условиям на каждом внутреннем контуре Ьк К=, 2. М) (рис. 15), условиям однозначности для перемещений и, V я угла поворота о г на каждом внутреннем контуре определяемым уравнениями (4.2.5), (4.2.8), (4.2.9) (плоское напряженное состояние) или теми же уравнениями, но содержащими вместо величин Е, V, л, величины Еу, V,, a., (плоская деформация). [c.93] В граничные условия входят постоянные а, р, (наружный контур) и д., Уд- К=, 2. М) (внутренние контуры). Одна из групп этих постоянных выбирается произвольно. [c.93] Как указано в 4.1, постоянные а, р, у можно положить равными нулю тогда остальные ЗМ постоянных определяются из удовлетворения ЗЛ условий однозначности для перемещений и углов поворота. [c.93] Пример, иллюстрирующий применение указанной постановки плоской задачи термоупругости, рассматривается в 4.4. [c.93] Совершенно ясно, что при такой операции для соединения различных участков краев приходится посредством внешних воздействий этим участкам давать различные перемеш,ения и углы поворота. После жесткого соединения краев и удаления внешних воздействий тело останется в напряженном состоянии, и по линии йд-Ьд. будет иметь место скачкообразное изменение переме-ш,ений и углов поворота. [c.94] Для исследования плоских задач термоупругости для многосвязных тел может быть эффективно применен метод, основанный на теории функций комплексного переменного. Этот метод детально разработан Н. И. Мусхелишвили [34]. По вопросу применения теории функций комплексного переменного для изучения плоских задач термоупругости следует отметить также работу И. Н. Лебедева [21]. [c.96] Рассмотрим сначала задачу о плоском осесимметричном напряженном состоянии тонкого круглого диска с радиусом наружного контура Г2 и радиусом центрального отверстия Г1. Такое напряженное состояние диска возникает при плоском осесимметричном температурном поле T r,t). [c.96] Исследованиям тепловых напряжений в дисках и цилиндрах посвящена обширная литература. Ранними работами в этой области являются работы Лоренца [63] и А. Н. Динника [11]. Современное состояние исследований по напряжениям в дисках и цилиндрах излагается в книге [54]. [c.98] При составлении условий однозначности (4.4.13) и (4.4.14) используются свойства ортогональности тригонометрических функций. [c.101] Отсутствие тепловых напряжений, соответствующих температурным полям вида T (r) os G(/i 2), может быть легко объяснено с помощью аналогии между плоской задачей термоупругости и задачей изотермической теории упругости с дислокациями. [c.101] Тепловые напряжения о 0) при осесимметричном температурном поле (4.4.18) можно было бы определить с помощью непосредственной подстановки в формулы (4.3.5) вместо Т—То выражения (4.4.18) для функции 7 ° (/ ). В целях иллюстрации метода приводим решение для тепловых напряжений о 01, используя постановку плоской задачи термоупругости в напряжениях. [c.102] Рассмотренная в настоящем параграфе задача явилась предметом исследования ряда авторов. Впервые решение этой задачи с помощью метода, основанного на исследовании вспомогательной задачи о дислокации цилиндра и применении теории функций комплексного переменного, получено Н. И. Мусхелишвили [33, 34]. Позже метод, использующий теорию функций комплексного переменного, был применен для исследования указанной задачи Гейтвудом [5]. [c.104] Вернуться к основной статье