ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основные уравнения плоской задачи термоупругости из "Введение в термоупрогость " Рассмотрим в квазистатической постановке две типичные плоские задачи термоупругости, возникающие при плоском температурном поле Т х,у,1) о плоской деформации и плоском напряженном состоянии. [c.82] Плоская деформация возникает в длинном цилиндрическом или призматическом теле, когда его ось совпадает с осью Ог (рис. 13). [c.82] Общая постановка плоской задачи термоупругости в декартовых координатах сводится к нахождению восьми функций а . [c.83] Здесь / (, — компоненты вектора плотности поверхностной силы п ., Пу — компоненты единичного вектора внешней нормали к контуру. [c.84] Если граничные условия плоской задачи термоупругости заданы в перемещениях, то целесообразно решать плоскую задачу термоупругости в перемещениях. [c.84] Для получения соответствующих уравнений в случае плоского напряженного состояния поступаем следующим образом. [c.84] Подставляя величины (4.1.13) в уравнение (4.1.12) и заменяя затем Ей V,, на Е, V, получаем основные уравнения в перемещениях для плоского напряженного состояния. [c.85] К частному решению (4.1.15) системы уравнений (4.1.12) необходимо присоединить общее решение соответствующей однородной системы уравнений, содержащее необходимое число постоянных интегрирования для удовлетворения граничных условий в перемещениях (4.1.11). Такая постановка задачи пригодна как для односвязных, так и для многосвязных тел. [c.85] Не останавливаясь больше на этом вопросе, перейдем к постановке плоской задачи термоупругости в напряжениях. [c.85] Рассмотрим сначала случай односвязных тел. [c.85] Сформулируем граничные условия для функции напряжений в системе ортогональных криволинейных координат 5, п для односвязного тела. [c.86] Так как добавление линейной функции к функции напряжений Р не влияет на распределение напряжений, то постоянные а, р, у можно принять равными нулю. [c.87] Таким образом, плоская задача термоупругости в напряжениях сводится к нахождению общего решения (4.1.24) для функции напряжений Р, т. е. к нахождению общего решения Р бигармонического уравнения (4.1.25) и частного решения уравнения Пуассона (4.1.26) или (4.1.27), при удовлетворении граничных условий (4.1.33). [c.88] Таким образом, в односвязном свободном теле, находящемся в условиях плоской деформации или плоского напряженного состояния, стационарное температурное поле без источников тепла не вызывает напряжений а , а , Это свойство впервые было указано И. И. Мусхелишвили [33]. [c.88] Для постановки плоской задачи термоупругости в напряжениях в случае многосвязных тел необходимы дополнительные уравнения, определяющие однозначность перемещений ( 4.2). В многосвязных телах, находящихся в стационарном плоском температурном поле, в связи с неоднозначностью перемещений напряжения в плоскости хОу, вообще говоря, не равны нулю. [c.88] Вернуться к основной статье