ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Кубенко В. Д., Дзюба В. В. Динамика взаимодействия жесткой цилиндрической полости, заполненной сжимаемой жидкостью, со сферическими включениями при гармоническом возбуждении из "Проблемы механики Сборник статей " В связи с развитием вычислительной техники и численных методов появилась возможность решения задач идентификации внутренних физико-механических свойств и геометрических параметров неоднородных деформируемых тел [3-5 по результатам неразрушающих испытаний. По постановке эти задачи относятся к обратным задачам математической физики [6]. Методы их решения опираются па идею минимизации рассогласования между результатами экспериментальных измерений и теоретическим прогнозом и поэтому во многом аналогичны методам решения задач оптимизации конструкций [7]. [c.477] Оценка рассогласования результатов теории и эксперимента, называемая также функцией цели, в общем случае является некоторым функционалом. Функция цели минимизируется при ограничениях в форме равенств в случае, когда не используется априорная информация о границах изменения аргументов функционала, а условия равновесия (или движения) и граничные условия не содержат неравенств. [c.477] Очевидно, что неразрушающие механические испытания могут быть только контактными с применением гладких штампов, поскольку наличие острых кромок неизбежно приведет к появлению необратимых деформаций и, возможно, разрушению. Если по постановке задачи необходимо контролировать (задавать) перемещения, то жесткость штампа должна намного превышать жесткость исследуемого тела. Следовательно, математические модели механических неразрушающих испытаний приводят к контактным задачам с жестким индентором (штампом) с неизвестной заранее областью контакта и неизвестными усилиями контактного взаимодействия. Эти модели, помимо обычных дифференциальных уравнений равновесия (или движения) в области, занимаемой деформируемым телом, и граничных условий в виде равенств, содержат условия в форме неравенств. Неравенства, которым подчиняются искомые функции, отражают требование непроникания граничных точек одного тела внутрь другого, а также условие неположительности нормального давления — отсутствия растягивающих усилий в области контакта. Следовательно, задача идентификации в указанной выше постановке в общем случае сводится к минимизации функции цели при ограничениях в форме неравенств. [c.477] Таким образом, прежде чем приступать к решению идентификационных задач, необходимо иметь корректную модель контактного взаимодействия. [c.478] Базой для построения таких моделей были модели, созданные для систем с конечным числом степеней свободы. Для систем с конечным числом степеней свободы переход от двусторонних (удерживающих) связей к неудерживающим, или односторонним, был выполнен впервые Фурье. [c.478] Эти исследования реализованы на базе вариационных методов и заключаются в построении и анализе вариационных неравенств, которые в контактных задачах без учета трения выражают принцип возможных перемещений Лагранжа. Установлено, что статические задачи геометрически линейной теории упругости эквивалентны задачам минимизации функционалов полной энергии с ограничениями в форме неравенств, которые, в свою очередь, решаются при помощи методов математического программирования и оптимального проектирования. [c.478] Как и в статических задачах, основой теории динамического контактного взаимодействия является теория движения систем с неудерживающими связями с конечным числом степеней свободы. Последняя была разработана М. В. Остроградским [12] и завершена в работах Майера и Цермело. Здесь, по существу, был построен алгоритм интегрирования уравнений движения, основанный на отбрасывании связей, не оказывающих влияния на систему. Тем самым задача была сведена к классической задаче интегрирования уравнений движения систем с удерживающими связями. [c.478] Главным в построенной теории был алгоритм отбрасывания несущественных в данный момент связей, указанный впервые именно М. В. Остроградским. К сожалению, в последующих публикациях акцент зачастую делался не на приоритетных достижениях М. В. Остроградского, а на одной неточности развитой им теории, связанной с определением состояния системы в начальный момент времени. Алгоритм М. В. Остроградского основан на утверждении о том, что в данный момент времени на движение системы влияют только те неудерживающие связи, которые в данный момент работают как удерживающие, причем относительные скорости и ускорения в точке, в которой движение ограничено данной связью, равны нулю [12. [c.478] ТОЧКОЙ в формулах (2)-(3) обозначена производная по времени, повторяющиеся индексы означают суммирование в соответствующих пределах изменения индекса. [c.479] С использованием ограничения (2) было построено квазивариационное неравенство, отражающее принцип возможных скоростей и описывающее эволюцию деформируемого тела во времени, доказана теорема единственности решения, предложен алгоритм решения и доказана его сходимость — эти результаты собраны в монографии [11]. [c.479] Для динамической идентификации наиболее важной является задача об ударе штампа (или системы штампов) по деформируемому телу. В данной работе дано обобщение сформулированных выше результатов на случай подвижного штампа в динамике и сформулирована задача идентификации. [c.479] Точка в условии означает операцию скалярного умножения тензора модулей упругости на вектор и справа (в компонентах — умножение матрицы на вектор — столбец справа) двойная точка в уравнении (5) означает двойное скалярное произведение (свертку) пары тензоров. [c.479] Для постановки прямой динамической контактной задачи с подвижным штампом воспользуемся понятием торсора [14]. [c.480] Элементами приведения стенического торсора являются главный вектор Рр[Ь) и главный момент Мр сил, действующих на штамп. [c.480] Прямая контактная задача для подвижного штампа, воздействующего на линейно упругое тело, заключается в том, чтобы найти зону контакта, усилия контактного взаимодействия, напряженно-деформированное состояние тела П и сте-нический торсор штампа по заданному кинематическому торсору (эти торсоры в постановке задачи могут меняться местами в зависимости от того, каков характер измерений в эксперименте) из соотношений (4)-(7), (11)-(13). [c.480] К — множество кинематически допустимых полей перемеш ений — удовлетворяющих условию закрепления на части границы и условию непроникания на части границы Ес, К и — множество допустимых полей скоростей (удовлетворяющих ограничению (2)). [c.481] Здесь а = [Л] (Я — Яо + и), И и — радиус-вектор точки деформированной поверхности тела, точка наверху означает производную по времени, двойная точка — вторую производную по времени символ (8) — операция диадного умножения — образования тензора второго ранга из пары векторов. [c.482] Вывод формул (20), (21) осуществляется по той же схеме, что и вывод соответствующих формул для задачи с неподвижным штампом. [c.482] Решение и = u t) = и х,1) принадлежит пространству 1У(0, Т), определение которого можно найти в [15] и которое было использовано при доказательстве теоремы существования прямых контактных задач с учетом трения в работе [13]. [c.482] Вернуться к основной статье