ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Кадашевич Ю. И., Помыткин С. П. Эндохронная теория пластичности при учете конечных деформаций из "Проблемы механики Сборник статей " В предлагаемом обзоре излагаются методы исследования стационарных движений неголономных механических систем. Указанные методы развивают классические идеи Э.Дж. Рауса [1, 2], А. Пуанкаре [3] и А.М. Ляпунова [4, 5]. Общие положения иллюстрируются примерами из динамики твердого тела на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. [c.429] Здесь X G X С R — п-мерный вектор фазовых переменных, х = dx/ /i, i G е [0,+оо), f (х) G X —R . В дальнейшем скалярное произведение двух п-мерных векторов а и Ь будем обозначать (а Ь), а векторное произведение (при гг = 3) обозначим [ах Ь]. [c.429] Пусть x(i,x ) — решение уравнений (1) с начальными условиями х(0,х ) = = X G X (момент времени i = О можно выбрать в качестве начального, поскольку уравнения (1) не зависят явно от времени). Это решение соответствует некоторому движению рассматриваемой системы, поэтому будем называть его движением x(i, X ) системы. [c.429] Определение 1.1. Множество Xq С X называется инвариантным множеством системы, если x(i, х°) G Хо для всех i О и произвольного х G Xq. [c.429] Замечание 1.1. Если dimXo = О, то Xq = х° , где х° G X — неподвижная точка системы (1) (f(x ) = 0), т.е. x(i,x ) = х — установившееся движение системы. [c.429] Если выполняются последние соотношения и rank (0фо/0х)ф =о = п — d, то множество х е X Фо(х) = 0 — инвариантное множество системы. [c.430] Определение 1.3. Компактное инвариантное множество Xq системы устойчиво, если для любого сколь угодно малого положительного числа е суш,ествует положительное число 6 такое, что dist (x(i, х ), Xq) для всех i О и произвольного X G X, удовлетворяюш,его условию dist(x, Xo) 5 в частности, установившееся движение x(i, х ) = х устойчиво, если для любого сколь угодно малого положительного числа е суш,ествует положительное число 6 такое, что x(i,x ) — х° для всех i О и произвольного X е X, удовлетворяюш его условию х —х° в противном случае Xq их — неустойчивые инвариантное множество и установившееся движение соответственно. [c.430] Будем говорить, что интеграл t/o(x) принимает невырожденное стационарное значение на некотором множестве Хо С X для фиксированных значений первых интегралов U(x) = с, если Хо — максимальное связанное подмножество множества х G X 5t/o u= = 0 и (J2t/o u= Ф О для любого х G Хо. [c.430] Теорема 1.1. [6]. Если один из интегралов системы принимает невырожденное стационарное значение при фиксированных значениях постоянных других интегралов на некотором множестве Хо, то Хо — инвариантное множество этой системы. [c.430] Замечание 1.4- Движения системы, лежащие на множестве Хо, зависят от времени и совпадают с установившимися, только если dimXo = 0. Тем не менее эти движения можно назвать стационарными, поскольку они доставляют одно и то же стационарное значение одному из интегралов системы при фиксированных значениях других интегралов. [c.430] Замечание 1.5. Инвариантное множество Хо, доставляющее интегралу стационарное значение при фиксированных постоянных первых интегралов и = = с, зависит от этих постоянных. Это означает, что инвариантные множества Хо образуют некоторое семейство инвариантных множеств Хо(с). Что касается стационарных движений x (i), лежащих на множестве Хо(с), то они, кроме того, зависят от начальных условий х , принадлежащих этому множеству. Это означает, что стационарные движения x (i, ,x ) образуют семейство размерности, не меньшей суммы числа произвольных и независимых для Хо (с) постоянных среди постоянных с интегралов и = с и числа произвольных начальных условий х° е е Хо(с). [c.430] Замечание 1.6. Интеграл 1/о х.) = Со (даже при фиксированных значениях первых интегралов и = с) может принимать стационарные значения не только на множестве Хд, но, вообще говоря, и на других множествах Хх, Х2. Множества Х1, Х2. соответствуют одним и тем же значениям постоянных первых интегралов и(х), но, вообще говоря, различным значениям постоянной интеграла /о(х). Эти множества также зависят от постоянных с и образуют некоторые семейства инвариантных множеств Хх (с), Х2 (с). [c.431] Теорема 1.2. [9-11]. Если (компактное) множество ILq доставляет одному из первых интегралов системы локально строго минимальное или максимальное значение при фиксированных значениях постоянных других интегралов, то Xq — (устойчивое) инвариантное множество этой системы. [c.431] Теорема 1.3. [12] Если степень неустойчивости Пуанкаре стационарного движения хР(с ) нечетна и rank (9f/5x)o = и — к, то это стационарное движение неустойчиво. [c.432] Отметим, что теорема 1.3 представляет собой модификацию одной из теорем Кельвина-Четаева [13-14]. [c.432] Здесь А (г) G — положительно определенная (гг х гг)-матрица кинетической энергии, V(r) G (7 М — R — потенциальная энергия системы, В(г) — (гг х X /г)-матрица интегралов Нетер (В(г) G (7 rank В = к). [c.432] Согласно результатам предыдущего параграфа, критическим точкам интеграла энергии при фиксированных значениях постоянных других интегралов отвечают стационарные движения рассматриваемой системы. Учитывая структуру интегралов (3) и (4), задачу отыскания стационарных движений можно решать в два этапа. Сначала можно найти минимум квадратичной по v функции (3) на линейном по V многообразии (4), рассматривая г как параметры (других критических значений функция (3) как функция переменных v иметь не может). Очевидно, этот минимум зависит от г и с обозначим его Wdv). После определения функции Weir), которая называется эффективным потенциалом, задача поиска стационарных движений сводится к определению критических точек этой функции на конфигурационном многообразии М. [c.432] Замечание 2.1. Если в некоторой точке г = г имеем гапкВ(г ) к, то исследование стационарных движений в окрестности точки г конфигурационного пространства требует отдельного обсуждения (см. последний пункт этого параграфа). [c.433] Вернуться к основной статье