ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Мирсалимов В.М. Обратная задача механики разрушения для составного цилиндра контактной пары из "Проблемы механики Сборник статей " Задача об устойчивости положения равновесия механической системы в зависимости от структуры действующих сил является классической задачей. В случае явной зависимости действующих сил от времени эта задача до настоящего времени остается малоисследованной. Определенные результаты можно найти в статьях 1-5]. Целью настоящей работы является развитие и обобщение этих результатов. [c.87] Пусть О, 0) = О, так что система имеет положение равновесия q — q — ). [c.87] ТО положение равновесия д — д — 0 равномерно устойчиво. [c.88] Утверждение есть следствие теоремы Ляпунова [8, 9] с функцией V в виде полной энергии системы VI( , д, д) = Т(д, д) + П(i, д). [c.88] Утверждение доказывается аналогично утверждениям 2.1-2.3, если вместо функции Vl взять функцию q, q) = + По(9). [c.89] На основании утверждения 2 можно найти, что при любом законе я = t), i (i) g, верхнее положение равновесия тела неустойчиво. [c.89] Утверждение 3.1. Положение равновесия q = q = О системы (1) под действием гироскопических и диссипативных сил равномерно устойчиво по обобщенным скоростям q. [c.89] Следующий пример показывает, что в отличие от автономного случая [11 действие одних линейных гироскопических сил Qg — G t)q, С — —G, det G ф О, не приводит к устойчивости q = q = 0. [c.89] Из этого закона следует, что в зависимости от функции p t) нулевое положение равновесия системы (2) может быть как устойчивым, так и неустойчивым. [c.90] На основании результатов из [4, 7] имеет место следующее утверждение. Утвероюдение 3.2. Пусть на систему (1) действуют гироскопические силы и диссипативные силы с полной диссипацией, ограниченные при всех (i, g, q) G e хК, q Qd t, q, q) -adlgH) для всех (i, q, g) G Д+ x Г. [c.90] Тогда положение равновесия q = q = 0 системы (1) равномерно асимптотически устойчиво по q. [c.90] Определение 3.1. Пара матриц D t, 0), r(i)) строго наблюдаема, если ранг матрицы и равен п и это определяется некоторым минором этой матрицы An(i), det An(t) До = onst 0. [c.90] Утвероюдение 3.3. Положение равновесия q = q = О системы (1) под действием сил (2) равномерно асимптотически устойчиво по q, если пара матриц (D(i, 0), r(i)) строго наблюдаема. [c.90] Пример 3.2. Пусть симметричное твердое тело с осью симметрии G z, вращающееся вокруг неподвижного центра масс G, совершает под действием момента Mg — Mz t) нестационарное вращательное движение вокруг оси Oz по закону р = = g = О, г = ro(i), ro t) G fil. Используя утверждение 3.3, можно показать, что под действием моментов = — yi t)p. Му = О (или Мд. = О, Му = —ji t)q), 71 G fti, заданное нестационарное вращение будет глобально равномерно асимптотически устойчиво по р и q. [c.90] Утверждение 4-1- Если выполнены условия утверждения 2.1 и 2.4.1, то положение равновесия д = д = 0 остается равномерно устойчивым при любых гироскопических и диссипативных силах. [c.91] На основании теорем из [2, 3, 5, 7] имеем следующие результаты. [c.91] Тогда положение равновесия д = д = 0 системы (1) равномерно асимптотически устойчиво. [c.91] Тогда положение равновесия д — д — 0 системы (1) асимптотически устойчиво ио дп д . [c.91] Пример 4.1. В примере 2.1 устойчивое нижнее положение тела под действием диссипативных моментов с полной диссипацией становится асимптотически устойчивым. Верхнее положение равновесия тела под действием диссипативных моментов при условиях 4 t) + g О, i(t) О или (i) 0 остается неустойчивым. [c.92] Па основании теорем [2, 3, 7] можно утверждать, что результаты 4.1-4.5 имеют место, если их условие относительно q Qd поменять на условие (4), а остальные предположения оставить без изменений. [c.92] Вернуться к основной статье