ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Александров С. Е. Сингулярные решения в одной модели пластичности с условием текучести, зависящим от среднего напряжения из "Проблемы механики Сборник статей " В классических работах Л. И. Мандельштама и Н.Д. Папалекси была теоретически установлена и обоснована возможность возбуждения электрических колебаний в контурах посредством периодического изменения емкости или индуктивности с помощью механического воздействия. На основе результатов теоретических исследований и выводов был создан ряд электромеханических устройств, в которых экспериментально осуществлялась генерация электрических колебаний с весьма большим напряжением и силой тока вследствие периодического с требуемой частотой изменения параметров контуров. Явления, происходящие в электромеханических колебательных системах с периодически изменяющимися параметрами, после этих фундаментальных исследований принято называть параметрическим резонансом. Эффекты параметрического резонанса широко распространены в природе и технике. [c.45] Ниже исследуется двойственная к вышеуказанной задача, когда происходит возбуждение механических колебаний систем посредством эффекта параметрического резонанса, вызванного переменными электрическими полями. С единых позиций рассматриваются параметрические колебания упругих систем с постоянными распределенными параметрами (мембраны и цилиндрической оболочки), взаимодействующих с переменными электрическими полями. Исследованные электромеханические модели могут оказаться полезными при создании волновых твердотельных гироскопов и, возможно, других навигационных приборов, изучению которых А.Ю. Ишлинский посвятил значительную часть своего научного творчества. [c.45] Полагаем, что внешние обкладки заземлены, т. е. их потенциал равен нулю. Между обкладками симметрично помещена упругая мембрана на одинаковом расстоянии h от верхней и нижней обкладок. К мембране приложено электрическое напряжение, потенциал которого относительно обкладок равен U = Uq os fit, где Uq, ft янные, характеризующие амплитуду и частоту соответственно. [c.45] Постановка задачи заключается в следующем. В начальный момент времени = О точкам мембраны сообщены осесимметричные распределения смещений и скоростей. Требуется найти движение мембраны при i О с учетом приложенного напряжения и 1). [c.46] Для того чтобы определить движение проводящей электрический ток мембраны, нужно найти распределение действующих на нее сил электрического поля. Эти силы могут быть вычислены [2, 3], если известны потенциалы электрического поля иг, и2 в областях 1, 2 соответственно. Переходим к их определению в искомом квазистатическом приближении для электрического поля. [c.46] При этом функции должны быть ограниченными для г — 0. Поскольку при Н/а 1 краевыми эффектами на границе г = а можно пренебречь [1], то можно поставить произвольные граничные условия для и 1. Так как мембрана жестко закреплена по краю У а,1) = 0), то в рассматриваемом случае удобно положить также г, 1) = 0. [c.47] При выводе выражения (7) учитывались только линейные относительно V члены и то обстоятельство, что представления (6) в указанном приближении справедливы в исходных областях 01 2- Из (7) следует, что при V = О нормальное давление Р = О, поскольку n t) = О, п = 1, 2,.. . Заметим, что это обусловлено симметричным (на равных расстояниях И от обкладок) расположением мембраны. [c.48] Функции /, g предполагаются согласованными с условиями (9) и достаточно гладкими, чтобы существовало сильное решение [5] задачи (8)-(10). [c.49] Предполагается, что коэффициенты / , gn достаточно быстро убывают при п —) оо. [c.49] Таким образом, краевая задача (8)-(10) сведена к решению счетной системы задач Коши (12), (13) для линейных уравнений с периодическими коэффициентами, частота изменения которых равна 2П. Отметим, что влияние внешнего электрического поля определяется квадратом напряжения [/ = 1/ соз Ш. Если 1/о = = О, то = О и уравнения интегрируются в явном виде. Получающееся решение описывает свободные осесимметричные колебания круглой мембраны. При По ф О, О искомое решение Уn t) п = 1, 2. выписывается при помощи функций Матье [6]. Случай 1) = О (постоянное напряжение) также представляет интерес (см. ниже). [c.49] Неравенство (17) по своей форме и физическому смыслу аналогично условию неустойчивости заряженной жидкой капли, находящейся в равновесии под действием сил поверхностного натяжения (Релей, см. [7]). [c.50] Наличие линейной диссипации приведет к тому, что устойчивые в линейном приближении моды колебаний станут асимптотически (экспоненциально) устойчивыми. Экспоненциально устойчивые моды останутся таковыми. Критические случаи, когда вместо строгих неравенств имеют место равенства, требуют дополнительных исследований с учетом нелинейности. Отметим, что наличие постоянного электрического поля приводит к уменьшению частот колебаний мембраны согласно (14). [c.50] Подставляя Рп в (20) и разрешая неравенства относительно о , последовательно по степеням малой величины получим условия неустойчивости, эквивалентные указанным и удобные для использования при гг 1, поскольку п — О при гг —) оо. [c.51] Рассмотрим основную резонансную зону = 1 (первое двустороннее неравенство (20)). В этой области значений параметров, имеюш ей ширину 2/9 , происходит экспоненциальное нарастание амплитуды колебаний п-й моды. Частота колебаний близка к частоте изменения электрического поля отличие составляет величину порядка Рп (18). Инкремент нарастания амплитуды равен 1/2/3 [6]. [c.51] Аналогично могут быть исследованы резонансные зоны более высоких порядков к 2. В этих зонах происходит экспоненциальное нарастание амплитуды колебаний с частотой, близкой (к 1). Ширина резонансной зоны (как отмечалось выше), отличие частоты и инкремент нарастания амплитуды составляют величины порядка Р . Практически [8] наиболее легко происходит параметрическое возбуждение колебаний в основной резонансной зоне к = 1 (20) для низких мод колебаний п = 1, 2. гг, где гг не очень велико . [c.51] Если одному из условий (20) удовлетворяет собственная частота фиксированной моды п, а все остальные моды п ф п не удовлетворяют ни одному из указанных двусторонних неравенств, то происходит возбуждение только этой моды п. В противном случае может возбуждаться несколько мод колебаний в различных резонансных зонах. [c.51] Влияние одного или нескольких типов указанных выше (и, возможно, других) нелинейностей приводит к ограничению амплитуды параметрически возбуждаемых колебаний, а также к возможности существования периодических стационарных колебаний. Отметим, что наличие существенной диссипации может привести к устойчивым стационарным колебаниям в резонансной зоне как при нелинейном, так и линейном подходах. [c.52] Выводы. На основе результатов п. 4.1 установлена возможность потери устойчивости положения равновесия мембраны в постоянном электрическом поле. Имеются технические возможности для проведения лабораторных экспериментов с целью определения сдвига собственных частот колебаний мембраны в постоянном электрическом поле, а также наблюдения потери устойчивости равновесного состояния У = 0. [c.52] Существует принципиальная возможность параметрического возбуждения колебаний мембраны, помещенной между заземленными обкладками конденсатора и находящейся под действием переменного электрического поля. Технически наиболее просто представляется возбуждение первой моды в зоне основного резонанса при соответствующем выборе параметров системы, таких как а, /г, 1/о, О, Т, ц (см. п. 4.2). [c.52] Рассмотренная выше задача о параметрических колебаниях упругой мембраны в переменном электрическом поле является в определенном смысле двойственной проблеме механического возбуждения электрического тока. Показано [9], что посредством периодического изменения емкости удается возбудить электрические колебания большой амплитуды в контуре. [c.52] Вернуться к основной статье