ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Устойчивость вращения твердого тела из "Беседы о механике Изд4 " Соединяя его с уравнением (64), найдем обе скорости V и со. Нетрудно видеть, что как опускание частицы т, так и вращение цилиндра будут происходить равноускоренно. [c.269] Только главные оси обладают свойством быть постоянными осями, около которых вращение поддерживается инерцией, без помощи внешних сил. Этим свойством обладают все три главные оси. [c.269] Но постоянство оси, при отсутствии внешних сил, еще не означает ее устойчивости. Этим последним термином мы называем способность тела мало изменять свое вращение от действия на него небольших толчков, т. е. от кратковременного приложения к нему небольших сил. [c.269] Положим, что первоначально тело вращалось около главной оси и что действием толчка ось вращения изменилась, т. е. тело после толчка вращается около мгновенной, беспрестанно переменяющейся оси. Сейчас же после толчка эта мгновенная ось по необходимости очень близка к первоначальной оси, так как предполагаем небольшой толчок. Иногда затем, с течением времени, мгновенная ось постепенно удаляется от первоначальной, и в скором времени это удаление делается очень заметным тогда мы говорим, что первоначальная ось вращения была неустойчивая. Если же после толчка мгновенная ось хотя с течением времени изменяет свое положение в теле и в пространстве, но, тем не менее, отклонение ее от первоначальной оси все время остается очень малым, то мы называем первоначальную ось устойчивой. [c.269] После толчка тело опять предоставлено самому себе, и внешние силы на него не действуют. Следовательно, при дальнейшем движении как живая сила его 7, так и полный момент количеств движения [л, должны сохранять постоянные величины, притом эти величины должны очень мало отличаться от первоначальных значений живой силы и момента количеств движения, имевшихся до толчка, так. как толчок по предположению очень невелик. [c.270] До сих пор мы не говорили ничего о сравнительной величине моментов инерщпт Уц 3 , Л- Теперь предположим, что — наибольший из них следовательно, первоначально вращение происходило около оси наибольшего момента инерции. Тогда Ух — следовательно, оба члена левой части уравнения (91) положительные, а так как сумма их должна быть бесконечно мала, то и каждый из членов должен быть бесконечно мал. Отсюда следует, что д а г должны быть бесконечно малы. Итак, во все время движения по инерции после толчка скорости д и. г бесконечно малы а так как вращение после толчка состоит из трех слагающих р, д, г, то, очевидно, направление мгновенной оси вращения в теле будет бесконечно мало отличаться от первой главной оси, имеющей моментом инерции 3 , т. е. от первоначальной оси вращения. [c.271] Нетрудно доказать, что и в пространстве направление мгновенной оси будет все время очень близко к первоначальному направлению оси вращения. Для этого рассмотрим направление вектора моментов количеств движения. До толчка этот вектор совпадал с первоначальным направлением той главной оси тела, около которой происходило вращение. Толчок мог изменить направление вектора моментов количеств движения в пространстве лишь бесконечно мало. После толчка внешние силы не действуют, следовательно, положение указанного вектора неизменно. Но он получается как равнодействующий из трех моментов по главным осям ЗхР, З д, УдГ, следовательно, направление равнодействующей этих трех векторов может лишь бесконечно мало отличаться от первоначальной оси вращения, а так как Уз и У3Г—величины бесконечно малые, то направление скорости р, а следовательно, и мгновенной оси, может лишь бесконечно мало отличаться от первоначальной оси вращения. [c.271] Таким образом приходим к заключению, что в движении, происходящем после толчка, мгновенная ось вращения и в теле и в пространстве будет лишь бесконечно мало отклоняться от первоначальной оси вращения. Следовательно, эта ось, т. е. ось наибольшего момента инерции, устойчива. [c.272] Возьмем теперь случай, когда первоначально вращение происходило около оси наименьшего момента инерции. В этом случае имеем следовательно, в уравнении (91) члены ЗзЦх—Л) Л (Л—Л) оба отрицательные. А так как их сумма равна бесконечно малой величине а — р, то каждый из этих двух членов должен быть бесконечно мал отсюда следует, что д п г бесконечно малы. Одним словом, мы можем буквально повторить все предыдущие рассуждения и убедимся, что ось наименьшего момента инерции также устойчива. [c.272] если первоначальное вращение происходит около главной оси, имеющей такой момент У], что в уравнении (91) член /д (/1 — - з) положительный, а другой член Уг(У]—Л) — отрицательный. Поэтому здесь мы не можем сделать заключения, что д н г бесконечно малы. Следовательно, здесь неприменимы и все последующие рассуждения, с помощью которых мы доказывали, что оси наибольшего и наименьшего момента инерции устойчивы. Для оси, имеющей средний момент инерции, необходим отдельный, особый разбор вопроса. Мы его не будем дзлать, а укажем только на результат оказывается, что эта ось неустойчивая. [c.272] В случае тела вращения два глазных момента инерции равны мекту собою напри лер, У2 = Уд. Третий главный момент ииерции, а именно, момент инерцни тела для оси его фигуры, или больше остальных д ух, или меньше их обоих, т. е. он или наибольший, или наименьший. Предыдущие рассуждения показывают, что ось фигуры будет всегда устойчива. Можно было бы доказать, что остальные главные оси неустойчивы. [c.272] Вернуться к основной статье