ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Предварительные понятия из "Физика дифракции " В этой главе мы постараемся познакомить читателя с математическим аппаратом, который необходим для понимания значительной части последующего материала. Большинство теорий кинематической дифракции в той или иной мере используют фурье-преобразование. Одним из наиболее важных его свойств является свертка, или интеграл свертки. При получении как фурье-преобразования, так и свертки удобно использовать дельта-функцию, поэтому прежде всего определим эту функцию и рассмотрим ее свойства. [c.36] При этом, как и далее, мы не будем стремиться к вполне строгому математическому изложению. Будем считать, что все рассматриваемые функции обладают в математическом смысле достаточно хорошим поведением, чтобы их можно было использовать с определенным физическим смыслом. Дельта-функции, равно как и другие разрывные функции, используем лишь для удобства. Когда мы хотим представить реальные ситуации, в которых разрыва непрерывности быть не может, разрывные математические функции мы используем лишь как стенографическое обозначение отвечающих физической реальности непрерывных функций, которые мы аппроксимируем. [c.36] При этом вместе с величиной а максимальное значение функции Гаусса стремится к бесконечности, полуширина (1/а) стремится к нулю, в то время как интеграл этой функции всегда равен единице. Отсюда следует, что дельта-функция удобна для описания любой функции, имеющей форму пика с пренебрежимо (в эксперименте) малой полушириной. [c.37] Подобным же образом можно определить дельта-функцию для любого числа измерений б(г) или б(г — а), где г и а — векторы п-мерного пространства. [c.37] Заметим, что в двух измерениях б(л ) является линией, а в трех измерениях — плоскостью. [c.37] Интеграл свертки (2.4) или (2.6) довольно часто встречается в научных работах, относящихся к различным областям, и является основным выражением при интерпретации большинства экспериментальных измерений, а также существенным компонентом многих сложных теоретических разработок, таких, как методы, основанные на использовании функции Грина, в теоретической физике. Для более четкого понимания свойств свертки проанализируем более подробно интеграл (2.4). Его можно получить следующим образом функцию /(X) умножим на функцию (Х), смещенную в начало координат в точке X = л и обращенную так, чтобы получить (л- —X). Значение произведения /(X) на (л —Х) проинтегрируем по X, результат нанесем на график как функцию х и получим С х). [c.38] Именно такая процедура имеет место, например, при измерении интенсивности спектральной линии сканированием с помощью детектора, имеющего в качестве входной апертуры щель конечной ширины, как показано на фиг. 2.1. Координата X может отвечать углу рассеяния света призмой или дифракционной решеткой, а распределение интенсивности /(X) обнаруживает исследуемые спектральныэ линии. [c.38] Для общего распределения интенсивности 1 Х) каждая резкая спектральная линия или каждый участок более широкой спектральной линии будет размываться функцией размытия g(X), так что регистрируемая интенсивность будет обладать менее резко выраженным пиком или будет иметь разрешение хуже, чем первоначальный спектр. [c.39] Замечательный пример свертки дает принцип Гюйгенса, записанный в виде формул Кирхгофа. Каждая точка фронта волны рассматривается как источник сферической волны, начальная амплитуда которой пропорциональна амплитуде падающей волны. Затем амплитуды вторичных волн складываются и дают амплитуду в плоскости наблюдения. Таким образом, функция амплитуды д х, у) на начальном фронте волны рассеивается с помощью функции, которая представляет вторичную сферическую волну от точечного источника на фронте волны. [c.40] Функцию в квадратных скобках можно назвать функцией распространения, или волновой функцией точечного источника, д х, у) = = х, у). [c.40] В ЭТОМ выражении первая функция представляет падающую волну, модулированную потенциальным полем 1/(г). Эта функция свертывается с амплитудой, возникающей из-за наличия точечного источника, а именно с амплитудой сферической волны, выходящей из начала координат. Таким образом, уравнение (1.19) или (2.11) попросту показывает, что наблюдаемая амплитуда является суммой амплитуд сферических волн от всех точек рассеивателя, а амплитуда рассеяния от каждой точки пропорциональна произведению амплитуды падающей волны и значения потенциальной функции 1/(г) в этой точке. [c.41] как обычно, в экспоненту включен множитель 2я. Эта форма обычно используется при описании дифракции она удобна, поскольку позволяет избежать включения постоянного множителя в выражение (2.12) или (2.13). При других условиях, которые часто используются в физике твердого тела, множитель 2я экспоненты опускают. В таких случаях его следует включить в рассмотрение в виде константы интеграл в любом из выражений ( .12) или (2.13) умножается на (2я) или же оба интеграла умножаются на (2я) /а. [c.41] Вектор и 1Й0ЖН0 рассматривать как вектор в пространстве Фурье. Для трехмерного случая, например, можно считать, что вектор г имеет координаты х, у, г, а вектор и — координаты и, и, ю. [c.41] 1 мы уже видели, что амплитуда рассеяния от объекта в приближении дифракции Фраунгофера, полученная из формулы Кирхгофа или выведенная на основании теории рассеяния, описывается интегралом фурье-преобразования. Например, чтобы получить двумерную форму уравнения (2.156), в формуле (1.37) следует подставить U = ИХ, v — тД. Таким образом, можно описать амплитуду, получающуюся при дифракции, с помощью распределения в пространстве Фурье, которое, как мы увидим дальше, часто называют обратным пространством. Поскольку в дальнейшем такое описание амплитуды будет использоваться чаще всего для вывода соотношений, относящихся к дифракционным эффектам, и для их объяснения, то перейдем теперь к рассмотрению наиболее важных свойств и поведения фурье-преобразования. [c.42] Функция F(u) будет чисто мнимой. [c.42] Именно эти интегралы, содержащие синусы и косинусы, протабу-лированы в значительной мере в таблицах интегралов Фурье, приведенных, например, в справочниках Эрдейли [124] и Снеддона [360]. [c.43] Соотношение (2.28) получается повторением вывода (2.27). [c.44] Здесь мы следуем обычным обозначениям функции в реальном пространстве будем писать строчными буквами, а фурье-преобразования — соответствуюш,ими прописными буквами. [c.44] Чтобы ближе познакомить читателя с использованием обычных фурье-преобразований и показать, как они используются при рассмотрении кинематической дифракции, приведем ряд примеров, в-которых используются обе рассмотренные функции. При рассмотрении дифракции в большинстве случаев будем исходить из простых одно- или двумерных объектов. [c.46] Вернуться к основной статье