ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Об устойчивости вязкопластического течения полосы и круглого прута из "Математическая теория пластичности " Ниже мы решаем вопрос об устойчивости вязкопластического течения полосы и круглого прута, пользуясь иным методом, связанным с эйлеровым способом описания движения сплошной среды (см. также [167]). [c.612] Задача о полосе является более простой, и ее решение приводится для сравнения с результатом A.A. Ильюшина. Задача о круглом пруте является пространственной задачей, и для ее решения мы привлекли уравнения пространственного деформирования вязкопластической среды, полученные нами ранее. [c.612] При выводе вышеприведенных соотношений принималось, что ди/дх О, т.е. элементы среды, имеющие направление, параллельное оси X, удлиняются. В противном случае, если ди/дх О, то следует во всех соотношениях изменить знак, стоящий перед пластической постоянной К. [c.612] Заметим, что в большинстве случаев в уравнениях движения можно опускать массовые силы и инерционные члены вследствие их малости по сравнению с другими членами, входящими в те же уравнения. [c.613] Такое напряженное состояние соответствует растяжению прямоугольной полосы нормальными силами, равномерно распределенными по ее краям и перпендикулярными оси у. При этом края полосы, параллельные оси х, свободны от усилий (рис. 184). [c.613] Здесь Ь — половина ширины исходной прямолинейной полосы, течение которой будем называть основным или невозмущенным 5 — амплитуда возмущения, значение которой мало по сравнению с Ь. [c.614] Возмущение границы имеет, таким образом, синусоидальный характер ), симметричный относительно оси ж. Будем считать, что по длине полосы укладывается целое число полуволн возмущения, для чего положим а = тп/1, где т — целое число. [c.614] Если возмущение краев полосы, параллельных оси х, носит более сложный характер, то, пользуясь рядами Фурье, его можно представить в виде суммы простых синусоидальных возмущений. [c.615] И медленного течения идеально пластического вещества. [c.618] Последнее уравнение уже имеет гиперболический характер. [c.618] Предельного значения +1 коэффициент v достигает при бесконечно большой скорости деформирования со, а значения —1 при скорости деформирования, равной нулю. При этих предельных значениях v вязкопластическое вещество описывается соответственно уравнениями пуазелевого движения вязкой жидкости и уравнениями идеально пластического вещества [179]. [c.618] При таком выборе вида решения функция ф ( ) принимает вещественные значения и зависит от двух произвольных постоянных ), входящих в состав сопряженных комплексных констант С и С. [c.619] Эти константы надлежит в дальнейшем определить так, чтобы удовлетворялись граничные условия задачи. [c.619] Следует иметь в виду, что задача решается для фиксированного мгновения. В противном случае надлежало бы считать С тл С функциями времени. [c.619] стоящая в квадратных скобках, согласно (3.17.39), равна нулю. Таким образом, функция / (у) сводится к некоторой постоянной, которую обозначим через Л. [c.620] стоящая в квадратных скобках выражения (3.17.55), положительна при всех значениях h. Постоянная D, таким образом, всегда ограничена и обращается в нуль, только если амплитуда возмущения границы полосы 6 равна нулю. Отсюда следует, что в таком случае в процессе деформирования возмущения не возникнут. [c.621] Такое возмущенное движение назовем, следуя A.A. Ильюшину, неустойчивым. [c.623] В процессе деформирования длина полосы I увеличивается, а ширина Ь уменьшается, поэтому одно и то же возмущение попеременно возрастает и убывает, пока, наконец, величина 2ah не становится меньше л, после чего движение становится окончательно неустойчивым, по A.A. Ильюшину, и полоса должна разорваться. [c.623] При сжатии полосы имеет место обратная картина, в частности, возмущения, возрастающие при растяжении, будут при сжатии убывать. [c.623] Вернуться к основной статье