ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы К вопросу об ударе вязкопластического стержня о жесткую преграду из "Математическая теория пластичности " Рассматривается задача об ударе вязкопластического стержня о неподвижную преграду. В общем случае решение задачи сводится к рассмотрению уравнения теплопроводности с подвижной границей. [c.516] Здесь V = у(х,1) — скорость сечения стержня, находящегося до удара на расстоянии х от левого торца а x,t) — напряжение в том же сечении (см. рис. 160 в 24 настоящей книги) — предел текучести 1 — коэффициент вязкости материала стержня. [c.517] При решении задачи было принято, что сечения стержня в процессе удара остаются плоскими, распределение напряжений в каждом сечении — равномерным. Картина удара предполагалась следующей. В начальное мгновение = О вязкопластические деформации стержня развиваются в слое бесконечно малой толщины у его левого торца х = = 0. Далее при О образуется вначале непрерывно расширяющаяся область вязкопластических деформаций, в которой всюду а Левая граница этой области примыкает к торцу ж = О, а правая, на которой а Ое, движется по заранее неизвестному закону х = Хо ( ) к свободному торцу стержня х = I. [c.517] В некоторое мгновение расширение области вязкопластических деформаций приостанавливается и ее правая граница, не достигнув торца X = I, начинает движение в обратном направлении. Справа от границы X = Хо ( ) наступает теперь ожествление материала стержня. [c.517] Таким образом, вязкопластическое деформирование стержня происходит в изменяющейся с течением времени области О ж жо ( ) с переменной правой границей. Вне этой области стержень не деформируется, являясь как бы абсолютно жестким. К мгновению окончания удара I = Т ожествление достигает левого торца стержня и все его сечения оказываются неподвижными. [c.517] В равенствах (2.25.2) и (2.25.3) р — плотность материала стержня, которая принимается постоянной. [c.518] Первое из них выражает закон движения жесткой правой части стержня Жо ( ) ж /. Второе, в силу закона деформирования (2.25.1), следует из равенства на подвижной границе х = Хо (t) напряжения а (ж, ) по модулю пределу текучести. [c.518] В начальное мгновение удара = О скорости всех сечений одинаковы и равны —г о- Выясним теперь вопрос о поведении безынерционных стерженьков длиной I/гг, заключенных между сосредоточенными массами, а также и стерженька вдвое меньшей длины между абсолютно жесткой преградой и первой массой. [c.519] Последний (п + 1)-й стерженек (длиной 1/2п) никогда не будет деформироваться, так как напряжение в нем всегда равно нулю из-за отсутствия сосредоточенной массы на его правом конце. [c.520] Первое из уравнений (2.25.17) представляет собой закон движения первой массы, а второе — всех остальных, составляющих как бы единое твердое тело. [c.521] Если а4 достигнет значения то начнет деформироваться четвертый стерженек. [c.522] Решение задачи следует теперь продолжать, предполагая, что число деформирующихся стерженьков стало на единицу меньше, и следить за изменением напряжения в ближайшем деформирующемся стерженьке слева от ожествившихся . Например, если четвертый стерженек так и не начал деформироваться, то после ожествления третьего стерженька следует вновь вернуться к совокупности уравнений (2.25.17), принимая за начальные значения скоростей и г 2 те их величины, которые соответствуют мгновению осуществления равенства [а ] = = Ое. Далее надлежит следить за изменением напряжения во втором стерженьке, пока, наконец, не прекратится деформация и в самом первом стерженьке. Таким образом, можно шаг за шагом построить всю приближенную картину удара стержня о неподвижную преграду. [c.523] Решения задачи были получены в результате рассмотрения уравнений (2.25.24), для которых к пробегает значения 2, 3,. ... .., (г — 1), г, (г — 1),. .., 2, 1. Здесь г (п — 1) — наибольший порядковый номер стерженька, перешедшего в вязкопластическое состояние. [c.523] Вначале было изучено, как влияет на решение задачи количество делений основного стержня на различное число частей. С этой целью задача решалась для каждого из приведенных выше значений начальной скорости Uq при делении стержня на 10, 20 и 40 частей. При этом программа вычислений была составлена таким образом, чтобы можно было предусмотреть любое число делений в пределах 50. [c.524] В результате анализа полученных данных можно сделать вывод, что времена продолжительности удара при одной и той же величине начальной скорости uq хорошо совпадают друг с другом при различных количествах делений стержня на части. Однако максимальные значения зоны распространения пластических деформаций оказываются в общем случае отличными друг от друга. [c.524] На рис. 168 представлены сравнительные данные решений для двух конкретных значений начальной скорости г о = 0.5 тл uq = 2.0. Для каждой начальной скорости внешняя ступенчатая линия изображает функцию (т) в случае деления стержня на 10 частей, внутренняя — на 40. Между ними расположена ступенчатая линия, соответствующая делению стержня на 20 частей. [c.524] В первом из приведенных примеров (г о = 0.5) максимальные значения области пластических деформаций тах совпадают друг с другом при разных числах делений стержня. Во втором (г o = 2.0) величины тах несколько различны. [c.524] Решение задачи при различных значениях начальной скорости представлены в виде графиков. Па рис. 169 изображены графики функции ( 1 ) определяющей закон перемещения границы вязкопластических деформаций стержня. Па рис. 170 построены графики, иллюстрирующие изменения безразмерной скорости жесткой части стержня. [c.525] В приведенной таблице указаны мгновения времени начала деформирования каждого стерженька и последующего его ожествления как согласно точному интегрированию систем дифференциальных уравнений, так и численному — на машине М-20. [c.526] Сопоставим, наконец, результаты решений задачи, полученные методами, изложенными выше и в статье [93]. Ограничимся значениями начальных скоростей ио = 0.1 щ = 2.0 и ио = 4.0 (соответствующие параметры Сен-Венана равны 5 = 10, з = = 0.5 и 8 = 0.25). [c.526] Вернуться к основной статье