ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Продольные колебания стержня при наличии линейного закона последействия и релаксации из "Математическая теория пластичности " Точно так же, если деформация е = ео удерживается постоянной, то предельное значение напряжения оказывается равным Осю = 1 /Ьп)го, каково бы оно ни было в исходное мгновение времени [172]. [c.482] Материалы подобного рода относятся к так называемым материалам с наследственными свойствами. Их напряженное состояние a t) зависит от предшествующей истории изменения деформации e(i). Математическим аппаратом, описывающим деформирование материалов с наследственностью, являются интегральные уравнения Больцмана-Вольтерра. Однако если ядро уравнения является экспоненциальной функцией разности аргумента (времени) и переменной интегрирования, то интегральное уравнение сводится к дифференциальному (2.22.1) и решение многих задач упрощается. [c.482] Здесь мы рассмотрим продольные колебания стержня, поведение материала которого подчиняется приведенному выше закону (2.22.1). [c.482] Покажем теперь, что задача о продольных колебаниях этого стержня может иметь лишь единственное решение при условии упругой заделки его концов (в частности, при свободных или при жестко закрепленных концах), а также задания перемеш ения сечений гг, их скоростей (1и/(И и, кроме того, напряжений а в начальное мгновение о= О как функций переменной ж, т.е. продольной координаты сечений стержня. [c.483] Знание распределения напряжений о по длине стержня существенно потому, что одним и тем же деформациям в материале, обладающим свойством релаксации и последействия, могут соответствовать различные напряжения (они зависят от истории деформирования материала). [c.483] Вследствие линейности всех соотношений разность и = щ — П2 будет также решением задачи, но с нулевыми начальными данными, т. е. [c.483] Условие превышения коэффициента релаксации г над коэффициентом последействия п оказалось существенным для приведенного доказательства. Если бы этого не было, то стержень имел бы способность к возбуждению собственных колебаний, что физически нереально (для модели, приводимой выше, случай г п соответствует отрицательному значению коэффициента вязкости). [c.485] Полученное дифференциальное уравнение третьего порядка в частных производных надлежит решать при изучении колебаний стержня при наличии релаксации и последействия простейшего типа. [c.485] Вид уравнения дает основание предполагать, что, наряду с затухающими волновыми движениями, в стержне возможны движения апериодического характера. [c.485] ЧТО и доказывает отрицательность а. [c.487] Покажем теперь, что появление трех отрицательных корней характеристического уравнения возможно лишь при достаточно малых по сравнению с г значениях п и д, заключенных в некоторых пределах. [c.487] При увеличении модуля уз верхняя и нижняя границы возможного значения д возрастают, приближаясь вместе с тем друг к другу. [c.489] В этом случае все три корня равны между собой. [c.489] Следовательно, уменьшение модуля уз сопровождается уменьшением коэффициента последействия п. [c.489] Остается удовлетворить начальным условиям. Пусть в начальное мгновение = О известны перемещение и элементов стержня, их скорость du/dt и ускорение d u/dt = р д з1дх как функции координаты X. [c.489] Но в силу (2.22.29) последнее неравенство будет справедливо лишь для конечного числа значений т. [c.490] Это обстоятельство решает вопрос о сходимости ряда (2.22.56), которым представлено решение задачи. При = О ряд сходится, так как он представляет начальные значения и в интервале О ж При О у членов ряда появляются множители вида так как корни характеристического уравнения (2.22.30) либо отрицательные, либо комплексные с отрицательной веш ественной частью. Эти множители могут лишь улучшить сходимость ряда (х 0). [c.491] В самом деле, может случиться, что для т = 1 все три корня характеристического уравнения окажутся отрицательными и соответствующее движение будет апериодическим. Кроме того, как было показано выше, для колебаний стержня с последействием и релаксацией возможен и такой случай, когда основной тон существует и, быть может, существует несколько следующих тонов (соответственно для т = 2, 3 и т. д.). Затем для ряда чисел т соответствующие им тоны пропадают из-за апериодичности движения и далее при больших числах т появляются вновь. [c.491] Выражения для fue показывают, что затухание волны и скорость распространения р/с зависят от частоты р, т. е. имеет место дисперсия простейших волн. [c.492] Решение задачи Коши для стержня бесконечной длины, подобное тому, какое имеется для абсолютно упругого стержня, получить пока не удалось [115]. Существенно при этом отметить качественную разницу между абсолютно упругим стержнем и стержнем с релаксацией и последействием. Если в первом случае можно искать волновые решения с разрывом непрерывности скоростей и применять их к практическим расчетам, то во втором случае это уже недопустимо, ибо задача требует задания вторых производных смещения (или напряжений) вдоль стержня. [c.494] Вернуться к основной статье