ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Осесимметрическая задача пластичности и проба Бринелля из "Математическая теория пластичности " Решение осесимметрической задачи пластичности имеет большое значение для построения теории испытания материалов на твердость. Весьма часто о твердости материала судят по размерам отпечатка от давления какого-либо штампа, например стального шарика (метод Бринелля) или конического острия (метод Роквелла) на плоскую границу материала. Экспериментальные данные показали, что так называемые числа твердости по Бринеллю и по Роквеллу связаны определенным образом с временным сопротивлением материала и его пределом текучести. [c.196] Теоретическим рассмотрением явлений, наблюдаюш ихся при проникновении штампа в идеально пластическую среду, занимались Генки [105], Прандтль [203] и В.В. Соколовский [54]. Последний решил задачу для случая плоской пластической деформации при весьма общих предположениях об очертаниях границы среды и штампа и о характере сил трения между ними. Ниже тот же вопрос изучается для случая осевой симметрии на примере давления шара или плоского штампа на идеальную пластическую среду с плоской границей. [c.196] Пренебрежем небольшим искривлением поверхности вокруг штампа, которое происходит при пластическом деформировании, и будем считать границу пластической среды вне контакта со штампом плоской. Строго говоря, свободная граница среды может считаться плоской лишь в том случае, если предварительно сделана выемка материала по форме штампа и его сила давления на среду не больше предельного значения, при превышении которого штамп начинает погружаться в среду. Примем, что при достижении этого предельного значения все элементы среды вблизи штампа окажутся в пластическом состоянии. [c.196] Поместим начало цилиндрической системы координат z в плоскость, содержащую свободную границу среды, а ось z направим по оси симметрии внутрь среды (рис. 51). Обозначим через гг , и Uz малые перемещения ее частиц при незначительном увеличении силы давления штампа на среду за достигнутое значение. В рассматриваемой задаче перемещение щ равно нулю. [c.196] Очевидно, что на оси 2 справедливо неравенство = иг/с1г О, т. е. линейные элементы, имеющие ориентацию оси 2 , укорачиваются. Таким образом. [c.197] Оси г и 2 в силу симметрии являются главными направлениями деформации среды в точках оси 2 и близки к главным направлениям в точках, расположенных около этой оси. Направление у также является всюду главным. [c.197] Обозначим через 01,02,03 главные напряжения в точках среды и условимся, что 01 02 03. Как оказывается, второе главное направление напряженного состояния совпадает в данном случае с направлением г, а первое и третье соответственно стремятся к направлениям 2 и г при приближении к оси 2 . [c.197] Вблизи оси 2 соответствующие главные компоненты деформации среды 1,е2, з удовлетворяют неравенствам 81 0,82 0,83 0. [c.197] Для точек оси 2 угол а равен нулю и = oi, а = 03. В свою очередь, для точек свободной границы среды 0 г = О, а О7. 0. Так как направления гиг являются для точек свободной границы главными и ai 03, то для этих точек а = 03, о = oi, а = к/2. Таким образом, можно считать, что при последовательном переходе от точек оси 2 к точкам свободной поверхности среды угол а увеличивается от О до л/2 (см. рис. 51). [c.198] Будем предполагать отсутствующим трение между поверхностью среды и поверхностью штампа. В таком случае нормаль к поверхности контакта среды и штампа оказывается первым главным направлением для тех элементов среды, которые примыкают к этой поверхности. Для элементов среды, расположенных на окружности раздела свободной границы среды и поверхности контакта, первое главное направление неопределенно и зависит от пути, по которому совершается приближение к точкам раздела. Если, например, подходить к этим точкам, перемещаясь по свободной границе, то первым главным направлением будет оставаться направление г если же перемещаться по поверхности контакта, то, как было только что указано, — направление нормали к этой поверхности. Напряженное состояние в точках раздела является, таким образом, особенным, оно будет изучено позднее. [c.198] Соотношения Хаара-Кармана [213] могут быть получены как предельные из уравнения пространственного деформирования вязкопластической среды при коэффициенте вязкости, равном нулю. [c.198] Здесь д/дз и д/дз — производные по направлениям, образующим углы 0ил/2 + 0с осью г, т. е. по площадкам наибольших касательных напряжений в данной точке среды (см. рис. 51). [c.200] Два ортогональных между собой семейства кривых в плоскости гг, касательные к которым образуют углы 0 и -к/2 + 0 с направлением г, назовем, следуя общепринятому, семействами линий скольжения (характеристик). [c.200] Полученные для функций и г) уравнения показывают закон изменения этих функций вдоль линий скольжения. Поэтому если известны значения функций и г] в двух близких точках, то можно приближенно найти значения тех же самых функций в точке пересечения линий скольжения разных семейств, проведенных через эти точки. [c.200] Обозначим через N точку пересечения двух касательных 5 и й к линии скольжения двух разных семейств, проведенных через точки Ь и М. Так как, по предположению, точки Ь тл М близки друг к другу, то точка N приближенно определяет точку пересечения самих линий. [c.200] Пусть ЬМ — касательная к линии скольжения первого семейства и ММ — к линии скольжения второго семейства. Если точка N лежит на положительных направлениях этих касательных, т. е. полупрямых. [c.200] Более точные выражения для значений и г в точке N можно получить, заменяя величины ri, и гм соответственно величинами (гь + r s ) /2 и (гм + r s ) /2. [c.201] Ломанные [0,0], [0,1], [0,2], [0,3],. .. , [1,1], [1,2], [1,3 1,4],. .. ,. .. представляют собой приближение к линиям скольжения одного семейства, а ломанные [1,1], [0,1], [2,2], [1,2], [0,2] , [3,3], 2, 3], [1, 3], [О, 3] ,. .. — к линиям другого. [c.202] Задача о нахождении функции и г по их известным значениям на некоторой гладкой дуге является задачей Коши для уравнений гиперболического типа. Функции и г могут быть при этом, вообще говоря, найдены в области двух криволинейных треугольников, для которых данная дуга является общей стороной, а другими сторонами служат линии скольжения обоих семейств, проходящие через крайние точки (рис. 57). [c.202] Если же известны значения функций и л на двух дугах линий скольжения разных семейств, исходящих из одной точки, то можно найти значение и л и построить линии скольжения в области криволинейного четырехугольника, ограниченного двумя данными дугами и двумя линиями скольжения разных семейств, проходящими через их крайние точки (рис. 58). [c.202] Вернуться к основной статье