ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Приближенное решение методом малого параметра плоских упругопластических задач теории идеальной пластичности из "Механика пластических сред Том2 Общие вопросы " Предполагая, что (п — 1)-е приближение определено, определим п-е приближение. [c.174] Пользуясь значениями корней (9) и (11), легко записать общее решение однородного уравнения (7). Нахождение частного решения уравнения (7) в конкретных задачах не представляет труда. Пользуясь общим решением уравнения (7), можно получить решение задач об эксцентричной трубе, находящейся под действием внешнего и внутреннего давлений, об эллиптической трубе, о двуосном растяжении толстой пластины с круговым или эллиптическом отверстием и т. д. [c.176] Таким образом, в этом случае при двуосном растяжении контур отверстия увеличивается в размерах, приобретая некоторую вытянутость в направлении большей из действующих сил. [c.180] В заметке [1] решение Л. А. Галина [2] о напряженном состоянии плоскости с круговым отверстием при двуосном растяжении (плоская деформация) дополнялось построением поля перемеш,ений. [c.181] Здесь индекс р наверху означает, что рассматривается пластическая составляющая приращения деформации. [c.181] Одна из возможных трактовок теории Прандтля-Рейсса состоит в использовании эйлерового представления о поле скоростей перемещений [3]. [c.181] Покажем, что в рассматриваемом случае решение исходных уравнений при лагранжевом представлении совпадает с решением в эйлеровом представлении [1. [c.182] Рассмотрим процесс деформирования. В момент, когда появляется пластическая область, контур пластической области совпадает с контуром отверстия. Следовательно, в этот момент имеет место осесимметричное напряженное состояние. При осесимметричной деформации всюду брв = 0. Далее на границе упругой и пластической областей Трв = = О, поэтому из закона Гука следует, что на ней Срв = 0. Следовательно, при последовательном распространении пластической зоны в любой фиксированной точке в момент прохождения через нее границы пластической области имеет место ер = 0. Далее, согласно (4), в любой точке пластической области имеет место d po = О, поэтому деформация Ерв в пластической области всегда будет равна нулю, т. е. /(ж, у. Л) = 0. [c.182] Таким образом, результаты заметки [1] полностью сохраняют силу и в случае лагранжевой трактовки соотношений теории Прандтля-Рейсса. [c.182] Остановимся на ограничениях, накладываемых на нагружение. Чтобы избежать разгрузки, недопустимой при нагружении условиями задачи Л. А. Галина, необходимо, чтобы пластическая зона в любой момент нагружения полностью содержала в себе пластическую зону в любой предыдущий момент нагружения. [c.182] Из (7) сразу следует, что 02 а1. Используя (6) и (7), получим искомые пределы изменения усилий Л, В, д. Легко убедиться, что область изменения нагрузок существует. [c.183] Рассмотрим определение перемещений в статически определимых упруго-пластических задачах теории идеальной пластичности. Под статически определимыми понимаются задачи, когда краевые условия в напряжениях позволяют полностью определить напряженное состояние в пластической области. [c.184] Статически определимыми, вообще говоря, являются задачи плоской деформации и плоского напряженного состояния в случаях, когда требуется определить напряженное состояние вблизи отверстий, на контурах которых определены условия. При этом необходимое условие статической определимости задачи состоит в следующем каждый пластический элемент должен быть соединен с контуром отверстия линиями скольжения, целиком лежащими внутри пластической зоны. [c.184] Успехи механики деформируемых сред. — М. Наука, 1975. [c.184] Предположим, что пластина с отверстием, контур которого обозначим через L, находится под действием некоторых усилий. Пусть в некоторый момент нагружения упругопластическая граница занимает положение Lsi, а в последующий момент нагружения — положение Ls2 (см. рисунок). [c.185] Будем предполагать, что задача является статически определимой в любой момент времени. Тогда напряженное состояние в пластической области полностью определяется усилиями на контуре L. Предположим, что усилия на контуре L фиксированы (например, контур свободен от внешних усилий в любой момент нагружения пластины). Тогда в любой точке А при достижении в ней пластического состояния все компоненты напряжения являются фиксированными и не зависят от изменения граничных условий вне контура L. [c.185] Следовательно, для любого элемента, находящегося в пластическом состоянии, упругие деформации фиксированы. [c.185] В соотношениях (8) присутствуют компоненты пластической деформации, так как при t = 0 имеют место равенства = е у = 0. Момент времени t = 0 для каждой точки А отсчитывается от момента прохождения через нее упруго-пластической границы. [c.186] Полные деформации при = О, т. е. в момент возникновения пластических деформаций, отличны от нуля и совпадают с упругими деформациями, накопленными элементом тела к моменту достижения им предела текучести. [c.186] Два уравнения (10) образуют замкнутую систему относительно двух компонент перемеш ений и и V. [c.186] Вернуться к основной статье