ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы О математическом описании поведения упругого изотропного тела при помощи кусочно линейного потенциала из "Механика пластических сред Том2 Общие вопросы " Рассматриваются соотношения связи между напряженным и деформированным состояниями модели упругого изотропного тела при кусочно линейном потенциале в случае малых деформаций. Предполагается, что при одноосном растяжении-сжатии и чистом сдвиге для рассматриваемой модели имеет место линейный закон Гука, изменение объема прямо пропорционально среднему напряжению. В обш,ем случае поведение исследуемой модели отличается от поведения модели упругого изотропного тела, описываемого обш,епринятыми соотношениями линейной теории упругости [1, 2]. [c.111] Здесь (Tij, и Sij — соответственно компоненты напряжений и деформаций, и — потенциал деформаций. [c.111] Зависимость между напряжениями и деформациями, определяемая из (1.4) согласно (1.1), будет удовлетворять соотношению (1.3). [c.112] Предположим, что при перемене знака напряжений на обратный компоненты деформации также меняют лишь знак. Отсюда следует, что функция Ф зависит от модуля 5]з . [c.112] В пространстве главных напряжений ri, (Т2, сгз функция Ф интерпретируется совокупностью цилиндрических поверхностей равного уровня Ф, образующие которых параллельны оси ri = сг2 = сгз. [c.112] Рассмотрим девиаторную плоскость ri + С72 + о-з = О, на ней U = Ф. Кривые пересечения поверхностей U и девиаторной плоскости назовем потенциальными кривыми. [c.112] В случае, когда значение потенциала определено экспериментом на чистый сдвиг, взаимное расположение шестиугольников показано на рис. 16. [c.112] Известно, что ограничения, накладываемые результатами простейших экспериментов (связь между напряжениями и деформациями при растяжении-сжатии, чистом сдвиге и т.п.), не определяют полностью функцию Ф, поэтому, вообще говоря, можно построить сколько угодно зависимостей между компонентами напряжений и деформаций для упругого изотропного тела, приводящих при одноосном растяжении-сжатии к линейному закону Гука [3, 4]. [c.112] Линейные соотношения обобщенного закона Гука получаются при частном предположении Ф = Ф(Е2). На рис. 1 соответствующая потенциальная кривая изображается окружностью. [c.112] Ниже рассмотрим соотношения теории упругого изотропного тела, потенциальные кривые которого изображаются шестиугольниками рис. 1, подобными шестиугольнику АВСDЕF. [c.113] В данном случае поверхность, интерпретируюш,ая в пространстве главных напряжений функцию Ф, будет кусочно гладкой, поэтому необходимо обобш,ение определения (1.1). Из зависимости (1.1) при использовании (1.3), (1.4) вытекает, что компоненты девиатора деформаций в пространстве напряжения-деформации ортогональны к поверхности Ф. Другими словами, компоненты ij — dij 6ц = 1, Sij = О, i j) совпадают с нормалью к плоскости, касательной в данной точке к поверхности Ф. [c.113] Поверхность Ф может быть интерпретирована как огибающая своих касательных плоскостей. Особые точки и линии поверхности Ф интерпретируются как предельные последовательности гладких поверхностей. [c.113] Так как Ai + Л2 +. . . + А = 1, А О, то получается т — 1 параметрическое семейство возможных компонент деформации. Так же как и в теории пластичности [5-8], для полного определения деформированного состояния необходимо опереться на дополнительные условия конкретной задачи (краевые, начальные и др.). [c.113] Соотношения (1.6) аналогичны соотношениям теории обобщенного пластического потенциала [5, 6]. [c.113] 8) очевидно, что имеет место закон Гука (2.3). Запишем исходные соотношения в компонентах декартовой системы координат х,у, z. Предположим, что направления осей x,y,z образуют с направлениями главных напряжений, обозначенных 1, 2, 3, углы, косинусы которых сведены в таблицу. [c.115] Здесь 01, 02, 0ъ — углы, определяющие направление главного напряжения (71 в системе координат х,у, z. [c.115] В соотношениях (2.11) всюду перед корнем взят знак плюс, так как в данном случае Т 0. [c.116] Соотношения (2.13) могут быть получены из выражений (2.10) по теории обобщенного упругого потенциала. [c.116] Вернуться к основной статье