ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Об интегральных неравенствах теории упругопластического тела из "Механика пластических сред Том2 Общие вопросы " Определяются интегральные неравенства, приводящие к принципу максимума скорости диссипации Онзагера. Приводятся ограничения, налагаемые интегральными неравенствами на механическое поведение материала. [c.90] Связь между интегральными неравенствами теории пластичности, приводящими к принципу Мизеса, рассматривалась в работе [1]. Ниже показана эквивалентность неравенств Друккера [2] и Хилла [3], а также неравенства A.A. Ильюшина [4] и неравенства, полученного в [1]. [c.90] Вопросы построения теории пластичности на основании принципа максимума скорости диссипации Онзагера рассматривались, например, в работах [5, 6]. [c.90] Рассмотрим циклы нагружения, замкнутые по напряжениям и по деформациям. Пусть ВАА АВ (рис. 1) —замкнутый цикл по напряжениям. Пусть ВАВ проходит в области упругих деформаций, в точке А материал достигает предела пластичности, вектор а выходит на поверхность нагружения. Пластические деформации приобретаются на отрезке нагружения АА- . Приращение напряжений на отрезке АА- обозначим да, соответствующее приращение пластических деформаций — (5е . [c.90] Так как на отрезке AAi (рис. 2) имеет место приращение действительных деформаций 5е , то, согласно (1.2), на отрезке ВС должно иметь место приращение упругих деформаций Ае , компенсирующее приращение бе , т.е. [c.91] Приращению Ае соответствует приращение напряжений Аа = = — аQ (рис. 2). Очевидно, что, вообще говоря, 6а ф Аа. [c.91] Первое неравенство (1.3) предложено в работе [2], второе — в рабо-3], третье — в работе [4], четвертое — в работе [1]. [c.91] Таким образом, постулаты A.A. Ильюшина и постулат, определенный в работе [2] (второе и четвертое неравенства (1.3)), эквивалентны. Следовательно, можно сказать, что имеют место два независимых постулата Друккера и A.A. Ильюшина. Постулат Хилла и постулат, сформулированный в [1], — другая форма записи соответственно постулатов Друккера и A.A. Ильюшина. [c.92] Предположим, что диссипативная функция (2.1) является однородной первого порядка относительно компонент Р. [c.92] В дальнейшем для простоты ограничимся случаем гладких функций нагружения распространение результатов на кусочно гладкие функции нагружения не представляет принципиальных трудностей. [c.93] На рис. 3 показан некоторый уровень диссипативной функции D 5eP, е, х) = onst, соответствующий действительному приращению пластических деформаций бе , и возможные приращения пластических деформаций бе . [c.93] В самом деле, работа напряжений на упругих деформациях по замкнутому циклу напряжений равна нулю а приращение пластической деформации отлично от нуля только в точке А. [c.93] И имея в виду, что цикл нагружения начинается и заканчивается исходным ненапряженным состоянием, как следствие будем иметь принцип Онзагера. [c.95] если цикл нагружения начинается от исходного ненапряженного состояния, то из интегрального неравенства (2.24) как следствие имеем принцип Онзагера. [c.96] Так как неравенства (2.16), (2.24) приводят к принципу Онзагера только при циклах нагружения от исходного ненапряженного состояния, то именно подобный цикл следует рассматривать в соотношениях (2.31). В этом случае циклы по нагружению и деформациям тоже заканчиваются в нуле и соотношения (2.31) тождественно равны нулю. [c.97] Отметим, что в приведенном анализе используются только напряжения а и деформации е. Подынтегральные выражения имеют вид а de, е da, интегрирование ведется по замкнутым циклам напряжений и деформаций и в приведенном анализе исследованы все четыре возможные комбинации интегралов и подынтегральных выражений. Механизм пластичности и упругости не конкретизируется. Необходимо лишь предположить, что е — обратимая, — остаточная составляющие деформации. Не используется конкретное определение напряжений и деформаций, необходимо, чтобы, наряду с (1.1), имело место условие (2.1). [c.97] Материал, удовлетворяющий условию (3.3), принято называть устойчивым. На рис. 5 дана зависимость а — е при одноосном растяжении, точка А соответствует пределу пластичности. [c.98] При одноосном растяжении бе О, следовательно, согласно (3.3), ба 0. График сг — е в этом случае будет представлять монотонно возрастающую кривую АВ на рис. 5). [c.98] 6) найдем Ед —Е. Следовательно, график а — ев этом случае может иметь участок монотонно убывающей кривой АВ1 на рис. 5), т. е. поведение материала может быть неустойчивым. Если обозначим Е = tga, то, согласно (3.6), участок неустойчивого поведения материала не может иметь касательных, угол наклона которых был бы меньше угла —а (рис. 5). [c.99] Вернуться к основной статье