ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Первые интегралы системы канонических уравнений 6 Скобки Пуассона и их свойства из "Теоретическая механика " Сформулируем принцип Гамильтона - Остроградского. Вообще, этот принцип верен для голономных систем с потенциальными силами, однако, принцип можно доказать и для более широкого класса голономных сил. [c.215] В выражении для вариации г - параметр, который не изменяется, а в выражении для полного дифференциала изменяется. [c.216] Для голономных систем из уравнения Гамильтона - Остроградского можно получить все уравнения механики. [c.217] Если они известны, то о системе известно все. Эти переменные называются переменными Лагранжа. [c.217] Здесь предполагается, что все обобщенные скорости выражены через обобщенный импульс (это отмечено значком л над соответствующей функцией, например Ь). [c.218] Далее действуем в порядке, обратном тому, что был использован при выводе принципа Гамильтона - Остроградского. [c.218] Сравнивая системы уравнений Лагранжа и Гамильтона можно отметить, что первая имеет порядок уравнений 2 и содержит п уравнений вторая - порядок уравнений 1, но количество уравнений 2п. Система уравнений Гамильтона удобна тем, что для нее проще отыскать первые интегралы. При малом количестве уравнений все же удобнее применять систему уравнений Лагранжа. [c.219] Получили 1-й интеграл, который называется интегралом энергии и выражает закон сохранения энергии. [c.220] Таким образом, мы показали, что функция Гамильтона Н имеет размерность энергии. [c.220] Координата называется циклической, если функция Гамильтона от нее не зависит, т.е. [c.220] Этот первый интеграл называется циклическим. [c.221] Пример 1. Движение свободной материальной точки под действием силы тяжести (Рис. 11.7). [c.221] Пример 2. Задача о движении материальной точки под действием центральной силы (Рис. 11.8). [c.222] Движение происходит по плоской траектории, поэтому удобно пользоваться полярными координатами. [c.222] Наличие первых интегралов зависит от выбора системы координат. Так в рассматриваемой задаче в декартовых координатах не было бы первых интегралов вида p = vi р =С . [c.223] Все они линейно независимы, т.е. якобиан производных левых частей этой системы не равен нулю и, следовательно, систему можно разрешить относительно p , т.е. [c.223] Отсюда следует, что если известны все первые интегралы, то известен и закон движения системы. [c.223] Вернуться к основной статье