ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Ортогональные тензоры из "Математические модели термомеханики " Основные гипотезы, предмет и методы термомеханики. Механика все процессы в природе сводит к движению в пространстве. При изучении этих процессов полагают, что поведение рассматриваемой системы во времени может быть полностью определено набором координат Xi t) как функций времени и связь между координатами может быть только функциональной. Если уравнения, фиксирующие эту связь, имеют решения, т.е. позволяют ввести п независимых координат Xi t), через которые выражаются другие координаты, то систему называют голономной, а число п — числом степеней свободы. Для голономных систем все степени свободы независимы друг от друга. [c.26] Для одноатомного газа массой в один моль число степеней свободы при нормальных давлении р 0,1 МПа и температуре Т = 273 К составляет п — ЗМ, где N 6,02 10 /моль — число Авогадро. Для двухатомных газов п = так как к трем поступательным степеням свободы добавляются две вращательные вокруг ортогональных осей, лежащих в плоскости, перпендикулярной отрезку, который соединяет центры масс молекул. Очевидно, что рещение системы п дифференциальных уравнений даже в идеализированной постановке весьма проблематично. [c.27] В случае, когда процессы в рассматриваемой системе не сводятся к движению в пространстве и не характеризуются только изменением значений координат Х( 1), они являются немеханическими. Если обратиться к статистической физике, то оказывается, что далеко не все макроскопические величины имеют микроскопические аналоги, т. е. могут быть описаны усреднением по ансамблю функции пространственных координат и импульсов отдельной микросистемы. Не имеют микроскопических аналогов, например, энтропия и свободная энергия, а также явления диффузии, вязкости, теплопроводности и т. д. Теплота, хотя она в равновесном процессе и равна усредненной по ансамблю кинетической энергии беспорядочного движения молекул, также не имеет микроскопического аналога, по крайней мере в тех случаях, когда существенно поведение системы на микроуровне. Аналогичное утверждение относится и к температуре. [c.27] Развиваемый в физике статистический подход к изучению поведения материальных сред связан с введением средних по большому ансамблю частиц характеристик. Последнее приводит к необходимости введения дополнительных гипотез о свойствах частиц, их взаимодействии и с упрощением этих свойств и взаимодействий. Если же существенны еще и немеханические процессы, то в настоящее время не существует даже теоретической базы для построения таких методов. [c.27] Более общий подход к исследованию поведения материальных тел заключается в построении феноменологической макроскопической теории, основанной на полученных опытным путем общих закономерностях и гипотезах. Именно такой путь исследования закономерностей поведения материальных тел мы и будем рассматривать. [c.27] Первая гипотеза, которую при этом необходимо ввести, заключается в следующем. Несмотря на то что все тела состоят из отдельных частиц, их очень много в любом существенном для нас объеме. Поэтому каждое тело мы будем рассматривать как среду, заполняющую предо ставленную часть гфостранства сплошным образом. Такая идеализация позволяет при изучении поведения материальных тел использовать аппарат дифференциального и интегрального исчисления. [c.27] Наконец, в соответствии с третьей гипотезой, мы будем использовать абсолютное время. Это означает, что в дальнейшем мы не будем учитывать эффекты теории относительности. [c.28] Таким образом, мы будем изучать поведение сплошной среды — континуума в евклидовом пространстве с использованием абсолютного времени. При этом существенным для нас будет рассмотрение взаимодействия полей деформации и температуры, изучением которого занимается термомеханика — область механики, базирующаяся на законах термодинамики необратимых процессов и механики сплошной среды. [c.28] Простейшим математическим объектом является скаляр, определяющий физическую величину, задаваемую только ее численным значением в любой системе координат (например, плотность, температура, работа, энергия и т. д.). [c.29] Отметим, что проекции вектора на оси выбранной системы координат не являются скалярами, так как их величины зависят от ориентации системы координат. [c.30] Разностью Ь — а двух векторов а и Ь называют такой вектор х, что а + X = Ь. [c.30] Произведением вектора а на число Л называют вектор Ла, коллине-арный вектору а, с длиной Л а , однонаправленный с а при Л О и противоположно направленный при Л 0. Умножение вектора на число О дает нулевой вектор 0. [c.30] Смешанным произведением называют скалярное произведение двух векторов, один из которых сам является векторным произведением, т. е. [c.30] Результатом умножения будет прямоугольная матрица, имеющая т строк и п столбцов. Если положить т = п = 3, то матрица будет квадратной порядка 3. [c.31] Заметим, что (7 = aibj определены как произведения всех проекций векторов а и Ь на оси выбранной декартовой прямоугольной системы координат и, следовательно, ij будут различны при переходе преобразованием поворота от одной системы координат к другой. [c.31] На основании сказанного тензор второго ранга можно определить как математический объект, компоненты которого при преобразовании поворота одной системы координат относительно другой будут соответствовать соотношениям (1.8). [c.32] Умножение всех компонентов тензора на скаляр дает новый тензор того же ранга, т. е. [c.33] Если тензору Л произвольного ранга п можно поставить в соответствие квадратную матрицу А, то элементы обратной матрицы А (если она существует) будут соответствовать компонентам тензора В. Тогда тензор В называют обратным по отношению к тензору А и В = А . [c.33] Если у компонентов некоторого тензора А переставить произвольным образом один или несколько индексов, то полученные таким образом компоненты образуют новый тензор В, а эту операцию называют подстановкой индексов. [c.34] Операцию симметрирования обозначают взятием индексов, по которым она производится, в круглые скобки, т. е. [c.34] Вернуться к основной статье