ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Формула Хаусдорфа. Группы симметрий из "Основы теоретической механики Изд2 " Координаты, в которых заданная группа является группой трансляций, называются каноническими. [c.227] Поскольку Х[д) — инвариант, то в новых переменных это просто константа, которую можно считать равной единице. Вопрос о знаке Р(д) не имеет значения, поскольку, если Р д) — собственная функция, то Р д) тоже собственная, т.е. всегда существуют положительные собственные функции. [c.227] Таким образом, роль канонических координат группы играет логарифм собственной функции ее оператора и п — I независимых инвариантов. [c.227] В 47 было выяснено, как преобразуется функция, заданная в некоторой области пространства, однопараметрической группой преобразований. Результат был представлен в двух формах уравнение Лиувилля и ряд Ли. В обеих формах приведенные соотношения связывали выражение рассматриваемой функции в старых координатах, ее выражение в новых координатах и оператор группы преобразований старых координат в новые. [c.227] Необходимо установить связь между А, А и II. [c.228] Уравнение дА/дт — [А, 17], определяющее преобразованный оператор Л, является аналогом уравнения Лиувилля, определяющего преобразованную функцию. Оно раскрывает смысл второго названия для коммутатора — производный оператор коммутатор есть в буквальном смысле слова производная оператора А по параметру группы, определяемой оператором V. [c.229] Из этой формулы следует, что если [Л, С/] = О, то Д = А, т.е. группа с оператором V не изменяет оператора А (или соответствующих ему дифференциальных уравнений). [c.230] Полезность установления симметрий дифференциальной системы демонстрирует следующая теорема. [c.230] Последний коммутатор сводится к дифференцированию компонент оператора Л по г. Равенство нулю означает при этом, что в канонических координатах группы V оператор А (а следовательно, и дифференциальная система, соответствующая ему) от переменной г не зависит. [c.231] Можно проверить, что [А, I/] = 0. [c.231] Аналогичный результат имеет место и в случае произвольной размерности. В книге И.Г.Чеботарева он сформулирован так. [c.233] Теорема. Если система д/сИ = К д) допускает (п - 1)-параметрическую разрешимую группу, операторы которой /1,. ... .., С/г1-1 вместе с оператором А составляют линейно несвязанную систему, то рассматриваемая дифференциальная система интегрируется в квадратурах. [c.233] Хотя уравнения и изменились, но фазовые траектории остались теми же, поскольку общий для всей правой части множитель Л(д ) сокращается при делении всех уравнений системы на одно из них. [c.234] Группа, удовлетворяющая условию [А,и] = ХА, также называется группой симметрий. Она переводит фазовые траектории в фазовые траектории. [c.234] Теорема. Если дифференциальная система допускает группу симметрий в расширенном смысле, то эта система может быть понижена в порядке. [c.234] Разделив все уравнения на первое, приходим к системе меньшего порядка. [c.235] Требуется понизить порядок. [c.235] Отсюда видно, что правая часть этих уравнений приобретает одинаковый для всех скалярный множитель, если s = к и 1/к = s/m. [c.236] Вернуться к основной статье