ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Нелинейная диссипация энергии колебаний. 2. Автоколебания. 3. Вынужденные колебания ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ЛИ Элементы локальной теории из "Основы теоретической механики Изд2 " Теорема Пуанкаре-Дюлака. В классе полиномиальных замен конечного порядка любая система вида ( ) приводима к виду, в котором все члены до соответствующего порядка включительно резонансны. [c.199] Уравнение для I является сопряженным к написанному, поэтому выписывать его не обязательно, хотя его присутствие будет иметься в виду. [c.200] Переменная, удовлетворяющая этому уравнению, отличается от переменной, удовлетворяющей исходному уравнению, как это следует из доказательства теоремы Пуанкаре-Дюлака, квадратичными членами. Поэтому, с точностью до этих членов, приближенное решение точного уравнения можно получить, решая его нормальную форму. [c.200] Нерезонансные члены оказывают меньшее влияние на решение, чем резонансные. [c.200] Полученное решение показывает, что характер затухания колебаний при — оо уже не имеет экспоненциального вида, как это было в линейном случае. Нелинейные диссипативные силы приводят к затуханию степенного вида, т.е. к более вялому , чем линейные. [c.201] В автоколебательных системах внешних периодических сил нет. [c.201] Поддержание периодических колебаний в них осуществляется за счет стационарных внешних, или внутренних источников энергии, благодаря особому механизму взаимодействия их с самой системой. Типичным примером автоколебательной системы являются механические часы. В них стационарный источник энергии — внутренний. [c.201] Следовательно, нормальная форма первого приближения есть Z = —iz - e z - z z), z = iz — e z — z z). [c.202] Это решение показывает, что у уравнения Ван-дер-Поля имеется единственное периодическое решение с начальными условиями Хо+ Ч-у = 1 и с амплитудой, равной единице. Все остальные решения стремятся к нему асимптотически при — оо, если 0. [c.202] Найденное периодическое решение в этом случае и представляет собой автоколебательный процесс. [c.203] Семейство амплитудно-частотных характеристик (параметром семейства рассматривается амплитуда внешней силы л), построенное по этой формуле, изображено на рис. 66. [c.205] Таким образом, из трех возможных значений амплитуды установившихся колебаний устойчивым колебаниям соответствуют наибольшее и наименьшее значения, а неустойчивым — среднее. [c.206] Вернуться к основной статье