ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теоремы Ляпунова об устойчивости и неустойчивости Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной механической системы Малые колебания в окрестности положения равновесия из "Основы теоретической механики Изд2 " Тогда положение равновесия исходной системы также является асимптотически устойчивым. [c.166] Последний переход верен до тех пор, пока у(г) 1. [c.167] Доказательство теоремы проводится как и в предыдущем случае методом оценок с использованием леммы Гронуолла, в которой неравенство следует заменить на противоположное. [c.168] Из приведенных теорем следует, что вне поля зрения остались такие нелинейные системы, в которых у линейной части существуют корни характеристического уравнения с нулевой вещественной частью. Такие случаи исследования устойчивости называются особыми. В особых случаях из свойств устойчивости линейной части системы никак не следует устойчивость положения равновесия всей системы. Некоторые возможности в исследовании устойчивости в этих случаях дает теорема Лагранжа. [c.168] То есть в положении равновесия консервативной механической системы потенциальная энергия принимает стационарное значение (максимум, минимум или точка перегиба). [c.168] Теорема. Если в положении равновесия консервативной механической системы с конечным числом степеней свободы потенциальная энергия имеет строгий минимум, то это положение равновесия устойчиво. [c.168] Доказательство. Консервативная механическая система обладает первым интегралом ( 27) вида = Т + П = onst. [c.168] Обозначения можно выбрать так, чтобы в положении равновесия qi = О (г = 1,. .., п) и П(0) = 0. Тогда в некоторой окрестности положения равновесия Е = Т + П 0. [c.169] Выберем число е и найдем минимум полной энергии Е на сфере = е. Обозначим этот минимум буквой Е. Такой минимум существует, покольку непрерывная функция Е[х) на ограниченном замкнутом множестве достигает своего наибольшего и наименьшего значений. Поскольку экстремум П в положении равновесия строгий, то этот минимум строго больше нуля Е 0. [c.169] Теорема. Изолированное положение равновесия консервативной механической системы с конечным числом степеней свободы, в котором потенциальная энергия имеет строгий минимум, становится асимптотически устойчивым при добавлении к системе диссипативных сил с полной диссипацией. [c.169] Доказательство. Поскольку положение равновесия изолировано, то можно так выбрать число е, чтобы в области х е других положений равновесия кроме х = О не было. [c.169] Пусть это не так. Пусть существует траектория х( ) такая, что Ип1( +оо [ (0] =- 0 О (рис. 56). [c.170] Напомним известную теорему о пределах если А В п если - А, то, начиная с некоторого г. Л,- В, В силу этой теоремы, если Е[х х, Т)] Ео VI если jE x(x, ,T)] - [х(х, Т)], то, начиная с некоторого г, jE [x(x, , Т)] Ео- Однако траектория х(х,-, 1), в силу теоремы единственности решений начальной задачи Коши, представляет собой часть траектории х( ), для которой в любой момент времени [х( )] Ео. Полученное противоречие и доказывает теорему. [c.170] Если к 1, то потенциальная энергия имеет строгий минимум и по теореме Лагранжа следует, что положение х = О в этом случае устойчиво. [c.171] Вернуться к основной статье