ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Первые интегралы лагранжевых систем из "Основы теоретической механики Изд2 " В случае системы уравнений второго порядка, какими и являются уравнения Лагранжа, первым интегралом будет называться скалярная функция С 1, д, д), определенная там же, где определена кинетическая энергия и обобщенные силы, и постоянная вдоль любых траекторий системы. [c.121] Механическая система называется интегрируемой, если она имеет глобальный первый интеграл. [c.121] Пример. Система х -Ь г -Ь а = О неинтегрируема, поскольку глобального первого интеграла у нее не существует. Заметим, что решение ее тем не менее выписывается без труда. [c.121] Этот интеграл носит название обобщенного интеграла энергии, или интеграла Пенлеве-Якоби. [c.122] Заметим, что полная энергия = Т2 + Ti + То + П в общем случае не сохраняется. [c.122] Если система консервативна, то Ti = То = О и обобщенный интеграл энергии совпадает с полной энергией Тг + П = onst и выражает тем самым закон сохранения полной энергии в консервативных механических системах. [c.122] Сами переменные, которые не входят явно в функцию Лагранжа, называются циклическими. [c.123] Знание первых интегралов позволяет понизить порядок системы, т.е. продвинуться в деле нахождения решения системы в явном виде. [c.123] Следует иметь ввиду, что уменьшение порядка при помощи первых интегралов приводит, как правило, к системе уравнений, неэквивалентной исходной. [c.123] Построение точного решения, или понижение порядка системы — не единственная цель поиска первого интеграла. Глобальные первые интегралы выражают обычно некоторые законы сохранения, представляющие самостоятельный интерес, как содержательный физический факт. Установление таких законов бывает интересным даже тогда, когда общее решение задачи известно. В этой ситуации представляет интерес следующий прием. [c.124] Вернуться к основной статье