ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Ковариантность. 2. Калибровочная инвариантность Структура кинетической энергии. 4. Невырожденность Принцип наименьшего действия по Гамильтону. 6. Движение по геодезическим Понятие первого интеграла из "Основы теоретической механики Изд2 " Такие силы называются гироскопическими. [c.115] Справедливость утверждения очевидна, поскольку переменные д, также являются локальными координатами конфигурационного многообразия системы. Напомним ( 2), что ковариантность уравнений движения означает инвариантность правила их составления (уравнения Лагранжа), а не инвариантность самих, полученных в результате применения этого правила уравнений. [c.115] Это утверждение проверяется прямой подстановкой так измененной кинетической энергии в уравнения Лагранжа. [c.115] Механические системы, у которых кинетическая энергия зависит от обобщенных скоростей указанным образом, называются натуральными. [c.116] На рис. 44 эта кривая изображена жирной линией. [c.117] Будем предполагать, что на действительной траектории нет кинетических фокусов, сопряженных точке д (включая точку д ). [c.118] Тем самым все остальные кривые семейства д( , а) при а фО решениями поставленной краевой задачи не являются. [c.118] При подстановке этого семейства в функционал, выражающий действие по Гамильтону, мы получаем скалярную функцию скалярного аргумента 3(а). Если семейство является дифференцируемым по а, дифференцируемой по а будет и функция 3 ос). Кривая семейства, для которой 8/ а = О, называется экстремалью действия по Гамильтону. [c.118] Теорема. Действительная траектория (а = 0) и только она является экстремалью действия по Гамильтону. [c.118] В вариационном исчислении доказывается, что на самом деле экстремаль действия по Гамильтону обращает его в минимум. [c.119] Это означает, что для любых кривых, достаточно близких к действительной траектории и с достаточно близкими скоростями ( д( , а) - д 1, 0) е, (/( , а) - д(1, 0) е), действие по Гамильтону строго больше действия вдоль действительной траектории. Такой экстремум называется слабым, в отличие от сильного экстремума, когда ограничений на скорости нет. [c.119] Если скалярная функция С х) удовлетворяет условию первого интеграла, но определена в подобласти области V, то она называется локальным первым интегралом. [c.120] Если правые части системы х = Р(х) дифференцируемы, то в окрестности любой неособой точки х , т.е. такой, что - (х ) ф О, система имеет п — 1 функционально независимых локальных первых интегралов. [c.120] Глобальный первый интеграил, даже один, существует лишь в исключительных случаях и представляет собой интерес в механике. Он позволяет полностью расслоить фазовое пространство на интегральные многообразия меньшей размерности. [c.120] И система, и функция х + у определены во всей фазовой плоскости Система х = х, у = у имеет локальный первый интеграл С х, у) = у/х, определенный всюду за исключением прямой х = 0. Глобальных первых интегралов у этой системы нет. [c.120] Вернуться к основной статье