ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Кватернионное сложение поворотов Топология многообразия поворотов твердого тела из "Основы теоретической механики Изд2 " Произвольное движение твердого тела в пространстве складывается из движения какой-нибудь одной точки этого тела и вращения тела вокруг этой точки. Кинематике точки была посвящена предыдущая глава. Настоящая глава посвящена кинематике вращательных движений твердого тела. [c.23] В этих обозначениях в один класс попадают все последовательности поворотов, которые получаются одна из другой четной подстановкой (напомним, подстановка называется четной, если она состоит из четного числа инверсий двух соседних элементов). Переход от класса I к классу И, а также от класса III к классу IV осуществляется нечетной подстановкой. [c.24] Таким образом, из двенадцати возможных последовательностей поворотов вокруг координатных осей существенно различными являются лишь четыре. Последовательности из I и П класса называются углами конечного вращения первого рода. Последовательности из III и IV — углами конечного вращения второго рода. [c.25] Нижеследующая теорема доказывает, что для определения положения твердого тела трех углов достаточно. [c.25] Теорема. Любое положение твердого тела может быть получено тремя последовательными плоскими поворотами из любого начального положения любым из указанных выше способов. [c.25] На рис. 6 изображен параллелепипед, у которого противоположные грани отождествлены и каждой точке которого соответствует единственное положение твердого тела. При этом в силу доказанной теоремы оказываются исчерпанными все положения тела. Между тем взаимно однозначного соответствия между положениями тела и точками изображенного параллелепипеда нет. [c.26] Если угол / равен тг/2 или Зтг/2, то ось г после второго поворота занимает положение оси х и третий поворот складывается с первым поворотом, образуя единый плоский поворот а+7. Иными словами, множеству точек a-f7 = onst, 3 = тг/2 соответствует одно положение твердого тела. Если / = Зтг/2, то этим свойством обладает множество а — 7 = onst. Этот факт является общим для углов конечного вращения первого рода. Для углов второго рода плоскостями, в которых нарушается единственность представления положений твердого тела тремя углами, являются плоскости / = О и / = тт. [c.26] Это неудобство углов конечного вращения заставляет искать другие способы задания положений твердого тела, не имеющих указанных вырождений. [c.26] следовательно, А Л = Е — произведение транспонированной матрицы на саму эту матрицу равно единичной матрице. Это условие означает, что столбцы матрицы А представляют собой ортонорь мированную систему (сумма квадратов элементов столбца равна единице, а скалярное произведение различных столбцов друг на друга равно нулю). Такие матрицы называются ортогональными. [c.27] Пример. Рассмотрим преобразование поворота на угол (р вокруг оси X. Поскольку первая координата вектора R при этом не изменяется, будем считать, что он целиком лежит в плоскости у г (рис. 7). [c.27] Здесь учтено, что в плоскости гх положительным является поворот от оси г к оси х. [c.28] Отметим важнейшие свойства ортогональных матриц. [c.28] Свойство 2. Из алгебры известно, что если с1е1 Л ф О, то сушествует и единственна матрица, обозначаемая и удовлетворяющая свойству А А = АА = Е. Это означает, что в случае ортогональных матриц А = А и АА = Е, т.е. не только столбцы представляют ортонормированную систему, но и строки тоже. [c.28] Свойство 4. Поскольку операция произведения матриц является ассоциативной, то из предыдущих двух свойств вытекает, что множество всех ортогональных матриц образует группу. (Напомним, в алгебре группой называется любое множество элементов, в котором есть единица и для каждого элемента существует обратный в силу единственной ассоциативной операции. См. гл. 11.) Эта группа имеет стандартное обозначение 0(3). Множество ортогональных матриц с положительным детерминантом образует подгруппу. Ее обозначают 50(3). Читается это обозначение так специальная, ортогональная группа преобразований трехмерного пространства в себя. [c.28] Свойство 5. Между всеми ортогональными матрицами (с1е1 Л = = 1) и всеми поворотами твердого тела существует взаимнооднозначное соответствие. [c.28] группа 50(3) является основной математической моделью множества всех поворотов твердого тела. Она представляет собой конфигурационное многообразие твердого тела с одной неподвижной точкой. [c.28] Свойство 8. Собственные векторы и собственные числа ортогональных преобразований. [c.29] Следовательно, х = 1,у = 0, z = 0. Таким образом, в полученном решении следует оставить знак плюс. [c.30] Вернуться к основной статье