ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Инвариантность и ковариантность уравнений механики ю КИНЕМАТИКА Кинематика точки из "Основы теоретической механики Изд2 " Классическая механика представляет собой аксиоматическую систему. Понятие аксиоматической системы является общематематическим и состоит в следующем. [c.7] Построение теории должно начинаться с введения основных для дальнейшего неопределяемых категорий, которые мы обозначим условно буквами А, В,С... Обычно эти категории имеют названия, например, точка, сила и т.д. Однако на этой стадии роль названий минимальна. Индивидуальные свойства у обозначаемых ими объектов появляются не тогда, когда они вводятся, а тогда, когда они связываются друг с другом какими-то соотношениями, называемыми аксиомами. Дополнив введенную систему категорий и аксиом правилами логического вывода, мы можем как угодно глубоко развивать на этой основе теорию, не прибегая ни к каким ссылкам на какую-либо практику или очевидность. Построенная таким образом теория может показаться плодом чистого разума, никакой связи с природой не имеющей. Однако, если в этой природе, или какой-либо другой науке, или области человеческой деятельности, найдутся объекты, которые, будучи поставленными в соответствие с введенными Л, 5, С. окажутся в тех же отношениях, что и предписываемые аксиомами, то все выводы построенной теории будут верны и для этих объектов независимо ни от каких других их свойств. Установление соответствия между категориями аксиоматической системы и подобными объектами носит название реализации аксиоматической системы. [c.7] Однако прежде чем подобную теорию строить, необходимо убедиться в доброкачественности фундамента, т.е. выбранной аксиоматической основы. [c.7] В связи с этим рассматриваются три основные проблемы аксиоматики 1) проблема непротиворечивости, 2) проблема минимальности, 3) проблема полноты. [c.7] Непротиворечивость системы аксиом означает, что на ее основе нельзя вывести посредством правильных рассуждений утверждение и отрицание одного и того же факта. [c.7] Решить проблему минимальности — значит доказать, что каждое положение системы аксиом не зависит от остальных положений, те. не может быть получено из них логическим пу гем. [c.7] Наконец, полнота системы аксиом означает возможность доказать истинность (или ложность) любого осмысленного утверждения, содержащего рассматриваемые объекты. [c.7] Требование построения физико-математических дисциплин на аксиоматической основе было выдвинуто Гильбертом в конце прошлого века (шестая проблема Гильберта) и рассматривалось им как необходимое условие достижения абсолютной строгости. [c.8] Впервые основные аксиомы механики в систематическом виде были сформулированы в 1687 году Ньютоном. Их исследование с целью решения трех вышеперечисленных проблем было предпринято уже в нашем веке. Это потребовало изменить форму представления аксиом механики для того, чтобы максимально приспособить ее к применению методов математической логики. [c.8] В настояш,ее время имеется несколько форм представления аксиом механики. Есть аксиоматические системы, основанные на рассмотрении дискретных совокупностей материальных точек. Есть системы, в которых уже в аксиоматике отражена идея континуума. Некоторые системы были созданы под влиянием идей Маха, который утверждал, что в науку нельзя вводить понятие, не до-пускаюш.ее конструктивной проверки на практике. Поэтому все понятия такой метааксиоматической системы строятся так, чтобы ими можно было воспользоваться для выполнения конкретных измерений. В системах этого типа непременным является требование соответствия между первоначальными понятиями на формальном, аксиоматическом уровне и наблюдаемыми величинами на эмпирическом уровне. [c.8] Наконец, известна аксиоматизация в чисто гильбертовском духе, когда первичные категории просто перечисляются и их содержание определяется лишь вводимыми аксиомами. [c.8] Заметим, что изложение любой формальной аксиоматизации классической механики в курсе механики неуместно, поскольку составляет фактически главу математической логики, а не собственно механики. [c.8] Это определение в высшей степени подходит для того, чтобы дать представление о числе 1 тем лицам, которые никогда о нем ничего не слышали . [c.8] Так и в механике, имеет смысл предполагать наличие у читателей достаточной физической интуиции, чтобы не перегружать изложение основ избыточным формализмом. [c.8] Пуанкаре А. О науке. — М. Наука,1983. [c.8] Употребляющиеся в механике термины однородность и изотропность пространства и однородность времени лежат вне аксиоматической схемы, поскольку они там не нужны. Эти понятия относятся к сфере реализации и определяют свойства реального физического пространства и конкретных способов измерения времени. Пространство называется однородным и изотропным, если физические законы не зависят ни от места в пространстве, где протекают соответствующие явления, ни от направлений в нем. Однородность времени означает возможность выбора таких часов, по которым любая движущаяся материальная точка, на которую не действуют никакие силы, проходит одинаковые отрезки пути за одинаковые интервалы времени. Обратим внимание на то, что вне аксиоматической системы классической механики лежат и такие житейские словосочетания как время течет , время течет в точке . Время является аргументом функции и ничем больше. [c.10] Иногда формулировке второго закона Ньютона предпосылают формулировку первого закона в евклидовом пространстве всегда можно найти такую декартову систему координат и такой способ параметризации I, что любая свободная материальная точка (Р = 0) движется прямолинейно и равномерно или неподвижна . Такой способ введения аксиом механики содержит противоречие (см. 58). [c.10] Завершая обсуждение проблемы аксиоматизации классической механики, заметим, что программу аксиоматизации физико-математических наук, сформулированную Гильбертом, как известно, в полной мере осуществить не удалось. [c.10] Геделем было показано, что любая достаточно мощная аксиоматическая система (классическая механика к таким системам относится) не может быть полной, т.е. она допускает истинное недоказуемое высказывание. Отсюда следовала и невозможность установить непротиворечивость системы средствами самой системы. Появилось, однако, понятие относительной непротиворечивости. Например, классическая механика непротиворечива, если непротиворечива арифметика. Для целей обоснования механики подобный аргумент представляется достаточно убедительным. [c.10] Здесь постоянные т, а, b, с характеризуют смещение начала отсчета времени и координат, постоянные Vx, Vy, Vz определяют равномерное, прямолинейное движение начала новой системы координат относительно старой, постоянные числа aik определяют матрицу поворота (см. 6) осей новой системы координат относительно старой. Поскольку независимых коэффициентов в произвольной матрице поворота только три, то множество всех преобразований Галилея содержит 10 произвольных параметров и представляет собой 10-параметрическую группу Галилея (см. 58). [c.11] Вернуться к основной статье