ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Некоторые парадоксы симметрии из "Вязкие течения с парадоксальными свойствами " Спонтанное нарушение симметрии — одна из фундаментальных идей современной физики. В гидродинамике классическими примерами потери симметрии в первоначально симметричном потоке могут служить вихревая дорожка Кармана, течение в нло-ском диффузоре или возникновение вихрей Тейлора между двумя вращающимися цилиндрами. Описание этих явлений можно найти в обычном курсе гидродинамики. [c.27] Однако условия (26) не могут выполняться на решениях уравнения (25). Поскольку операция дифференцирования изменяет тип симметрии, превращая симметричную функцию в антисимметричную, нелинейные члены в (25), например при фиксированном х, антисимметричны по у, тогда как остальные члены уравнения симметричны. Симметрия типа (26) допустима лишь в следующих двух случаях а) для ползущего движения, когда нелинейные члены отсутствуют б) для стационарного движения идеальной жидкости, когда д/д1 = 0 и V = 0. В общем случае уравнение (25) допускает симметрию решений другого типа с антисимметричной функцией г]), например, -ф(ж, —у) = — х, у). Но такое решение описывает многоячеистый режим, для которого момент количества движения всегда равен пулю и противоречие отсутствует. [c.28] Приведенный пример показывает, что в понятие симметричные причины должна входить допустимость решений задачи с симметрией данного типа. Тем самым понятие симметричных причин является далеко не тривиальным. Симметрия может оказаться весьма скрытой и проявляться в обобш,енпом групповом смысле. Содержательные применения теории групп в гидрогазодинамике составляют предмет целой отрасли науки [104]. [c.29] Пусть условие симметрии причин выполнено, т. е. симметричное решение допускается уравнениями. Тогда несимметричные решения гидродинамических уравнений нри симметричных условиях могут возникать только после потери устойчивости основного режима вследствие бифуркации. Как правило, эстафета устойчивости передается именно несимметричному режиму, который в этом случае и реализуется в природе или опыте. При мягком характере потери устойчивости иногда может быть прослежен целый каскад бифуркаций, сопровождаюпцийся последовательным уменьшением симметрии, как это наблюдается, например, в течении Куэтта — Тейлора. Угадать заранее без анализа устойчивости форму вторичного режима практически невозможно. Наиболее неожиданные и интересные физические эффекты проявляются, когда спектр линей-Н011 задачи устойчивости является кратным. [c.29] Из большого многообразия типов потери пространственной симметрии прежде всего остановимся на возникновении самовраш,ения. Этот вопрос представляет не только принципиальный, но и, возможно, практический интерес в связи с повседневным возникновением враш,ательиых движений в природе. Однако в природе и технике граничные условия никогда не бывают вполне осесимметричными, и действительной закручивающей причиной может служить неосесимметричная затравка, примером чему служит всем известный вихрь в ванне. [c.29] Теоретический анализ линейной устойчивости круглых струй 1156] показал, что наиболее опасными возмущениями являются спиральные волны, бегущие по потоку и имеющие азимутальное вол-ловое число т = . Когда линейный анализ выделяет одно наиболее растущее возмущение, то последующий учет нелинейности позволяет определить стационарную амплитуду этой моды и ее зависимость от надкритичности. Именно такую информацию обычно получают в первую очередь, используя метод Ляпунова — Шмидта. Однако если в лине1Шом приближении существуют два равноправных возмущения с тг = +1 и тг = —1, и, более того, их суперпозиция с произвольными коэффициентами является решением, то на нелинейном этапе эволюции выявляется, какие комбинации этих мод формируют вторичные режимы, которых может быть несколько, и характер устойчивости каждого из них. [c.30] Как показано в [42], устойчивый вторичный режим параллельного течения, моделирующего начальный участок струи, включает в себя дифференциальное стационарное вращение с ненулевым моментом импульса. Представляет интерес вопрос, откуда берется этот пенулевой момент импульса Чтобы на него ответить, необходимо рассмотреть переход от исходного режима к новому. В процессе роста спиральных возмущений из-за действия рейнольдсовых напряжений появляются вращения противоположных знаков, разделенные пространственно. При этом в каждьш момент времени суммарный момент импульса возмущенного движения равен нулю. Но за бесконечное время часть завихренности определенного знака уносится на бесконечность, тогда в струе остается компенсирующий момент импульса. [c.30] Качественная перестройка из-за неустойчивости может происходить и в других течениях, для которых имеет место вырождение собственного спектра. Так, кратность собственного значения приводит к множественности вторичных режимов и в течении Куэтта между вращающимися цилиндрами. Судя по результатам работы [6], при определенных зазорах и скоростях вращения цилиндров устойчивыми оказываются тоже спиральные автоколебания. Там они должны приводить к появлению спонтанного осевого потока с ненулевым расходом. [c.31] В реальных условиях глухие торцы будут препятствовать этому эффекту, однако если торцы свободны или цилиндры закольцованы в виде торов, препятствия осевому движению нет. В случае струи причин, запрещающих возникновение вращения, также нет. Заметим, что теория предсказывает самовращение только для струи с достаточно резкими границами. Для автомодельной струи Шлихтинга устойчив вторичный режим без вращения. Поэтому при экспериментальной реализации явления придется позаботиться об увеличении дальнобойности струи и консервативности ев профиля. [c.31] Спонтанную потерю симметрии другого рода, но тоже связанную с потерей устойчивости, демонстрирует течение в плоском канале. В работе [43] для вычисления числа Рейнольдса перехода в плоском канале рассмотрен конечно-амплитудный симметричный триплет, ветвящийся от двумерных автоколебаний, резонирующих со своей субгармоникой, т. е. с трехмерными возмущениями половинной частоты. [c.31] Существует единственный собственный триплет бесконечной малой амплитуды, который состоит из трех нейтральных, но взаимодействующих гармоник. Ему отвечают вполне определенное число Рейнольдса и волновые параметры ( тройная точка ) [44]. Отметим, что волны, образующие этот триплет, как функции у, антисимметричны относительно оси канала. Автоколебания основного периода в общем случае устроены так, что амплитуды составляющих их гармоник либо симметричны, либо антисимметричны, и поэтому симметрия среднего профиля скорости сохраняется. Автоколебания удвоенного периода, ветвящиеся от тройной точки, таким свойством не обладают. Как уже было сказано, при нулевой амплитуде все три волны, будучи нейтральными, антисимметричны по продольной скорости. Легко убедиться, что нелинейные уравнения движения такой симметрии не допускают и поэтому для конечных амплитуд решения получаются асимметричными. Такого рода асимметрия наблюдалась экспериментально [73, 216]. Эти факты говорят о том, что асимметрия является типичным свойством вторичной неустойчивости. [c.32] Кроме изложенных, в гл. 2 приведены новые примеры спонтанной потери симметрии течения как посредством бифуркации самовращения, так и иным образом. [c.32] Рассмотренный симметричный триплет представляет стационарное движение в системе координат, движущейся с общей фазовой скоростью трех волн. Тем самым он демонстрирует явление потери пространственной симметрии при сохранении временной. Ясно, что это частный случай. Более общей является потеря не только пространственной, но и временной симметрии, что типично при возникновении и развитии турбулентности. [c.32] Таким образом, в гидродинамике применение правдоподобных аргументов, часто плодотворных при физических рассуждениях, может привести к неверным заключениям. Б числе этих аргументов, например, такие утверждения незначительные причины вызывают незначительные следствия , симметричные причины вызывают симметричные же следствия или природа стремится к симметрии . [c.32] Вернуться к основной статье