ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Один общий случай квазистационарного течения в тонком слое с изменяющимися внешними границами из "Основы теории течений бингамовских сред " Система уравнений (1)-(4) решается методом последовательных приближений в сочетании с методом малого параметра [6. В качестве нулевого приближения берется решение задачи для тонкого слоя в безинерционном приближении. Соответствующие уравнения получатся из системы (1)-(4), если величину к2 = h/l, которая будет в этом случае малым параметром, устремить к нулю. [c.97] Здесь Н1 х,Ь), Н2[х,1) — поверхности канала г (хЛ), 2 х,1) — поверхности раздела областей сдвигового и пластического течений 8111 — число Струхаля Q x, t) = о( ) рас юд среды в начальном сечении канала I — характерное время и — характерная скорость к х,1) — уравнение поверхности, на которой выполняется условие (14) (г ) — поперечная скорость у в верхней части от поверхности Ъ х,1) УгУ — поперечная скорость у в нижней части от поверхности Н х,1). [c.98] Далее решение проводится аналогично тому, как это было сделано при решении задачи о сжатии слоя вязкопластичной среды двумя параллельными плоскостями [16,60]. В области сдвигового течения ограничиваемся нулевым приближением, а в области пластического течения — первым приближением. Для этого выражения нулевого приближения подставляются в те слагаемые уравнений (1)-(4), которые отбрасывались при отыскании нулевого приближения. Затем проводится оценка величин слагаемых по малому параметру и отбрасываются те слагаемые, которые содержат множитель е в степени выше первой. [c.98] Дальнейшее решение рассмотрим отдельно для сдвиговых и пластической областей течения. При этом как и раньше все кинематические и динамические характеристики течения в сдвиговых областях будем обозначать верхним индексом а, а все кинематические и динамические характеристики течения в пластической области верхним индексом р. [c.99] Сравнение выражения касательного напряжения в пластической области (44) с выражением касательного напряжения в сдвиговой области (24) с учетом равенств (34) показывает их полное совпадение. Таким образом, во всей области течения / 1 / 2, касательное напряжение Тхг определяется одинаково либо по формуле (24), либо по формуле (44). [c.103] Нормальное напряжение тЕх (38) в пластической области на основании соотношений (44) и (45), также определено. [c.104] Из равенства (47) следует, что в любом поперечном сечении канала, стенки которого деформируются по произвольным законам, описываемым функциями координаты х и времени расстояния от стенок до границ раздела областей сдвиговых и пластического течений одинаковы (рис. 5.1), т.е. [c.104] Неоднозначность компонент касательного напряжения тЕг (68) и нормального напряжения т х (75) устраняется исходя из физического смысла поставленной задачи. Поскольку предполагается, что в рассматриваемом течении нет зон, где среда испытывает растяжение, то в любой точке среды и при любых значениях параметров течения должно быть тЕх 0. В этом случае у последнего слагаемого в равенстве (75) должен быть оставлен знак минус. Тогда в равенстве (68) также должен быть оставлен знак минус. [c.109] При I = 1 соотношение (85) справедливо для области пластического течения среды, лежащей ниже срединной поверхности 2 = Но, т.е. для координат 2 1 / о- При г = 2 соотношение (85) справедливо для области пластического течения среды, лежащей выше срединной поверхности 2 = т. е. для координат /го 2 2. [c.111] Как и для нулевого приближения, это же уравнение может быть получено приравниванием друг к другу значения выражения (85) при 2 = / о и индексе i= 1,2, с учетом выражений (34), (36), (44), (48) и (49). [c.111] Таким образом, задача о течении бингамовской среды в тонком слое между двумя деформирующимися с течением времени поверхностями полностью решена. [c.113] Об одном частном случае течения идеально пластической среды. Покажем, что из полученных соотношений для бингамовской среды как частный случай могут быть получены и все характеристики течения идеально пластической среды (при тех же условиях, что и в рассмотренной задаче). [c.113] Для этого во всех полученных соотношениях для бингамовской среды необходимо перейти к пределу при числе Сен-Венана 8 —00. При этом, как следует из уравнения (91), величина поперечного размера каждой из областей сдвигового течения среды стремится к нулю. На этом основании все характеристики течения пластической среды могут быть получены из соответствующих характеристик течения бингамовской среды в пластической области при стремлении числа Сен-Венана 8 к бесконечности. [c.113] Задача Прандля. Как частный случай из соотношений (98)-(104) получим выражения для проекций скорости и компонент тензора напряжения для задачи Прандтля о сжатии пластической среды между двумя параллельными плоскостями [60,84] (рис. 5.2). [c.115] Сравнение полученных формул с аналогичными, приведенными в работе [60] для задачи Прандтля, показывает их полное совпадение в главных членах разложений. При этом следует учесть, что в решении Прандтля начало координат помещалось в середине левого торца слоя, т. е. сдвинуто в отрицательную сторону оси X на величину I по сравнению с показанным на рис. 5.2. Некоторое отличие от решения Прандтля имеется в выражении компоненты нормального напряжения Тхх, что объясняется различной постановкой граничных условий. В задаче Прандтля задавалось интегральное условие отсутствия нормального напряжения Тхх на левом торце слоя. [c.116] Таким образом, решение рассмотренной плоской задачи, полученное для бингамовской среды, включает в себя как частные случаи решения для идеально пластической среды и вязкой жидкости. [c.116] То = О, то получим решение задачи о течении вязкой жидкости если же положить в полученном решении для бингамовской среды 1 = 0, то получим решение задачи о течении идеально пластической среды [16. [c.117] Полученное решение плоской задачи о течении бингамовской среды не противоречит также известным ранее решениям аналогичных задач, что позволяет говорить об эффективности выбранного метода решения. [c.117] Вернуться к основной статье