ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Наклонный слой. Пространственные возмущения из "Устойчивость конвективных течений " Изложенные в 4 и 6 результаты дают ответ на вопрос о структуре спектра возмущений и границах устойчивости конвективного течения в вертикальном и наклонном слоях жидкости относительно плоских возмущений. В этом параграфе будет рассмотрен вопрос о поведении пространственных возмущений. [c.55] Как будет видно из приводимых ниже результатов, полученных в [11], в случае стационарного конвективного течения между параллельными плоскостями также могут быть получены преобразования, аналогичные преобразованиям Сквайра. Они показывают, что в определенной области параметров — числа Прандтля и угла наклона слоя — кризис течения вызывается растущими пространственными возмущениями. [c.56] Сформулируем прежде всего амплитудную задачу для пространственных возмущений. Будем исходить из общей линеаризованной системы уравнений (1,14)—(1.16), определяющей поведение малых возмущений плоскопараллельного конвективного течения. Считаем, что отличны от нуля все три компоненты скорости Vx,Vy,Vz, кроме того, все возмущения полагаем зависящими от координаты у. [c.56] Здесь штрихи означают производные по поперечной координате и введено обозначение к =ку +kj. [c.56] Краевая задача (7,2)—(7.7) определяет пространственные возмущения и их декременты X, которые теперь зависят от параметров Gr, Рг, а,ку иkz. [c.56] Плоская задача (7.8)-(7.12) полностью эквивалентна (6.2) отличие состоит в том, что теперь в качестве неизвестных используются компоненты скорости, а не функция тока. [c.57] Покажем теперь, что можно найти преобразования, сводящие пространственную задачу (7.2)-(7.7) к плоской (7.8)-(7.12). [c.57] Очевидно, функции Vz, в, определяемые приведенными соотношениями, удовлетворяют нужным граничным условиям. [c.57] С помощью полученных соотношений производится сведение трехмерной задачи к плоской. Следует заметить, что при этом теряется ветвь спектра, соответствующая U3,-возмущениям. Легко убедиться на основании уравнения (7.3), что, как и в случае изотермических течений, эти возмущения затухают независимо от вида основного профиля скорости. [c.57] Таким образом, критическое число Грасгофа Сг трехмерных возмущений с волновыми числами ку и к для слоя, ориентированного под углом а к вертика ш, можно определить с помощью формул (7.17), если известно критическое число Сг для плоских возмущений с волновым числом к в слое, наклоненном к вертикали на угол а, отличный от а О. [c.58] Рассмотрим прежде всего два предельных случая. Пусть слой расположен вертикально ( = 0°). Тогда из (7.17) следует а = О, Сг = От к(к ,). Поскольку к к2 1, имеем Сг Сг т.е. трехмерным возмущениям соответствуют более высокие критические числа Грасгофа, и, следовательно, как и в случае изотермического течения, плоские возмущения ку = 0) наиболее опасны. [c.58] Сг = Сг. Таким образом, в случае горизонтального слоя кpиfичe киe числа Грасгофа для плоских и пространственных возмущений совпадают. Задача для амплитуд пространственных возмущений (7.2)—(7.7) при а —90° не содержит - отдельно волновых чисел ку и а лишь их комбинацию Щ + Декременты возмущений X и критические числа Грасгофа Сг поэтому не зависят от направления волнового вектора к ку, кг), а определяются лишь его величиной. Спектр критических чисел Грасгофа оказывается поэтому вырожденным нейтральной точке соответствуют возмущения различных форм — конвективные валы, пространственные ячейки разной симметрии и др, О выборе предпочтительной формы движения см. 36. [c.58] Этот параметр меняется в пределах О а 1. Значение а I соответствует плоским возмущениям ку = 0 они рассматривались в предыдущих параграфах. Противоположный предельный случай д = О соответствует возмущениям с к =0, не зависящим от продольной координаты 2 и периодическим вдоль у. Поскольку при этом компонента скорости отлична от нуля, возмущения не являются плоскими. Траектории жидких частиц в стационарном режиме представляют собой винтовые линии с осями. [c.58] При пересчете характеристик пространственных возмущений по результатам решения плоской задачи параметр а удобно считать фиксированным. [c.59] Обратимся к результатам расчетов минимальных критических чисел Грасгофа Стт пространственных возмущений. [c.59] Эта формула описывает линии семейств, соответствующие а = О, на рис. 29. [c.60] в отличие от изотермических потоков, для конвективного течения плоские возмущения отнюдь не всегда наиболее опасны. Ситуация определяется двумя параметрами — числом Прандтля и углом наклона слоя. При достаточно больших значениях числа Прандтля О и а наиболее опасны пространственные спиральные возмущения. С изменением угла наклона происходит смена формы неустойчивости — от спиральных возмущений при а а к плоским - при а а (рис. 30). Для достаточно больших Рг критический угол а мал (в случае строго вертикальной ориентации, однако, при всех Рг наиболее опасны плоские возмущения). С уменьшением Рг расширяется область углов, внутри которой главную опасность представляют плоские возмущения. [c.60] Здесь пока речь идет лишь о монотонной ветви неустойчивости. [c.60] При малых числах Прандтля (Рг 0,24) уже небольшое отклонение слоя от горизонтали приводит к достаточно интенсивному конвективному течению. При этом даже в рэлеевской области углов неустойчивость имеет гидродинамическую природу и связана с развитием плоских возмущений. [c.62] Если число Прандтля велико (Рг 12,45), так что в случае вертикальной ориентации неустойчивость связана с нарастающими температурными волнами, то по мере изменения угла наклона тоже происходит смена формы неустойчивости. На рис. 31 приведены границы устойчивости для разных значений параметра пространственных возмущений а при Рг = 15. Видно, что почти во всей области отрицательных а (подогрев снизу) неустойчивость обусловлена спиральными возмущениями, т.е. имеет рэлеевскую природу. При 0 0 = —1,75° имеет место волновая неустойчивость. [c.62] Вернуться к основной статье