ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Численные методы решения спектральной амплитудной задачи из "Устойчивость конвективных течений " Как показано в 1, исследование спектра малых нормальных возмущений основного конвективного течения (1.13) и его линейной устойчивости сводится к решению спектральной амплитудной задачи (1.24) —(1.26). Задача на собственные значения для системы высокого порядка с переменными коэффивд1ентами и малыми параметрами при старших производных достаточно сложна, и возможности ее аналитического решения предельно ограничены. Достигнутые в последнее время успехи, как, впрочем, и в случае более простой задачи устойчивости изотермических течений, связаны с применением различных численных методов, реализуемых на ЭВМ, В этом параграфе кратко описываются три получивших наиболее широкое распространение численных метода. При этом мы ни в коей мере не претендуем на освещение вопросов математи юского обоснования методов и на изложение деталей соответствующих численных алгоритмов. [c.20] Учитывая нечетность профиля скорости основного течения и , а также свойства четности базисных функций, легко видеть, что матричнью элементы Н, В и О отличны от нуля лишь в случае индексов разной четности, а С — в случае одинаковой четности. [c.21] Здесь —единичная матрица, А — комплексная матрица ранга Ы + М, составленная из коэффициентов системы (3.2). Спектр декрементов Л находится из уравнения (3.3), а решение системы (3.2) дает коэффициенты разложений (3.1), т.е. характеристические возмущения. [c.21] Таким образом, задача сводится к решению проблемы собственных значений для матрицы, соответствующей системе (3.2). В расчетах, связанных с высокими приближениями метода Галеркина,предпочтительными являются итерационные способы нахождения собственных значений, удобные для реализации на ЭВМ. [c.21] Процедуру диагонализации можно проводить с матрицей А1, получающейся из исходной унитарным преобразованием Ах = иА1/ 11- матрица перехода). При этом в силу свойств четности профиля и базисных функций можно выбрать II таким образом, что матрица Л1 оказывается вещественной. Ее собственные числа поэтому либо вещественны, либо образуют комплексно-сопряженные пары. [c.21] Заметим, что в расчетах по методу Галеркина могут применяться, разумеется, и другие базисы. Преимущество выбранного базиса состоит в том, что он дает точный спектр в пределе Сг О и приводит к сравнительно простой структуре системы (3.2). [c.21] Комплексный определитель О зависит от параметров задачи Сг, Рг, к, X. Характеристическое уравнение (3.11) )(Сг, Рг, Л , X) = О определяет спектр комплексных декрементов X. [c.23] Таким образом, для определения спектра декрементов (и, стало быгь, всех характеристик линейной устойчивости) нужно построить три линейно независимых решения, удовлетворяющих условиям (3.7), и вычислить с достаточной точностью элементы определителя О. Интегрирование уравнений (3.5) проводится численно удобно пользоваться, например, методом Рунге - Кутта — Мерсона (см. [23]), который позволяет проводить расчеты с автоматическим выбором шага при контролируемой точности. [c.23] Производимые при ортогонализации линейные преобразования, естественно, меняют вклад каждого частного решения в общее решение (3.8). Это не отражается на собственных значениях спектральной задачи, но требует некоторых восстановительных операций для построения собственных функций соответствующий алгоритм описан в [27]. [c.24] Интегрируя систему (3.16) с начальными условиями (3.17), можно определить все прогоночные коэффициенты во всей области интегрирования и, в частности, на ее правом конце л = 1. [c.25] Уравнение (3.18) представляет собой искомое дисперсионное соотношение, из которого находятся характеристические декременты. [c.25] Вернуться к основной статье