ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Конвективное движение в вертикальном слое из "Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости " Перейдем теперь к рассмотрению спектра возмущений и устойчивости конвективного течения между вертикальными плоскостями в полной постановке — с учетом тепловых факторов. Как уже указывалось, задача об устойчивости такого течения была поставлена в работах где на основе первых приближений метода Галеркина получена. оценка критических чисел Грасхофа. Позднее подробное исследование спектров возмущений и устойчивости было проведено с помощью ЭВМ в работах Р. Н. Рудакова а также в [ ]. [c.315] Из-за наличия конвективной силы возникновение в жидкости возмущения температуры 0 ) приводит к движению, которое может быть найдено из уравнения (45.1), где теперь 0 ° и Х(0) = V — известные решения задачи (45.5). [c.316] Если увеличивать разность температур между плоскостями (при этом число Грасхофа О будет увеличиваться от нуля), то уровни гидродинамических и тепловых возмущений будут смещаться. Из непрерывности ясно, что при малых О эти сме щения невелики. Поэтому можно (по крайней мере, при малых О) условно говорить о ц- и г-ветвях спектра, сохраняя классификацию, справедливую, строго говоря, лишь при 0 = 0. [c.316] Учитывая нечетность профиля конвективной скорости /о, а также свойства четности базисных функций, легко показать, что Матричные элементы Н, В и В отличны от нуля лишь в случав индексов разной четности, а С — в случае одинаковой четности. [c.318] Определение собственных чисел и собственных векторов, как и в случае нечетного изотермического профиля, проводилось численно на ЭВМ с помощью ортогонально-степенного метода. Использовались приближения, в которых разложения (45.8) содержали одинаковое число членов N = М = 14, Путем сравнения результатов, получающихся с меньшим числом базисных функций, установлено, что указанное приближение дает достаточно точные значения декрементов нижних 9—14 уровней спектра при значениях параметра /г0 2500. [c.319] На рис. 117 приведены примеры спектров декрементов. Видно, что при малых Q декременты вещественны. С увеличением G происходит попарное слияние уровней с порождением пары комплексно-сопряженных декрементов (возникновение осциллирующих возмущений). Простые пересечений уровней, как и- в случае спектров изотермических течений с ненетным профилем, отсутствуют. Интересно подчеркнуть особенность, хорошо видную на рис. 117,6. Гидродинамический уровень jii и тепловой уровень vi при некотором конечном значении G сливаются, образуя комплексно-сопряженную пару. Далее, при увеличении G снова наступает расщепление на две вещественные ветви. Такая особенность видна также и на рис. 117, в (пара уровней jio, ve). [c.319] Структура спектра довольно существенно меняется при изменении числа Прандтля. При малых Р нижнюю часть спектра составляют гидродинамические уровни (при высокой теплопроводности тепловые возмущения быстро затухают и соответствующие декременты относительно велики). Спектр нижних гидродинамических уровней в предельном случае Р С 1 получается в точности совпадающим со спектром изотермического течения с кубическим профилем. При Р 1 декременты тепловых и гидродинамических возмущений одного порядка величины, и fi- и v-уровни спектра чередуются. При увеличении Р происходит просачивание тепловых уровней в нижнюю часть спектра. [c.319] Рис 117. Декременты и фазовые скорости возмущений конвективного течения для трех значений числа Прандтля. Сплошные линии— гидродинамические ветви, штриховые линии — тепловые ветви штрих-пунктиром изображены вещественные части комплексно-сопряженных пар. [c.320] Варьируя волновое число, можно определить зависимость критического числа Грасхофа от к. На рис. 118 изображена нейтральная кривая монотонной неустойчивости для Р=1. Кривая имеет асимптоту при кц 2 коротковолновые возмущения с к ко затухают при всех значениях числа Грасхофа. [c.321] Поскольку колебательная неустойчивость порождается парой комплексно-со-пряженных декрементов, возможны тепловые волны, распространяющиеся в потоке как вверх, так и вниз. [c.323] Фазовая скорость бегущих нейтральных возмущений весьма близка к максимальной скорости невозмущенного потока. [c.323] Колебательная неустойчивость при больших Р рассматривалась также в работе Гилла и Киркхэма р ], где использовался асимптотический метод, основанный на разложении решения по степеням параметра Р /. Полученная в этой работе асимптотическая зависимость От(Р) отличается ог (45.10) лишь значением коэффициента (590 вместо 470). [c.323] Упомянем еще работу Гото и Сато [ ], в которой с помощью асимптотического метода было показано, что конвективное течение становится неустойчивым также и относительно волн Тол-мина — Шлихтинга. Эта неустойчивость, однако, возникает при очень больших разностях температур (критическое число G 4,6-10 ). Наблюдать эту неустойчивость, по-видимому, практически невозможно, поскольку уже при гораздо меньших G наступает кризис по отношению к монотонным или колебательным возмущениям, рассмотренным выше (эти типы неустойчивости в работе [ ] не были обнаружены). [c.325] Вернуться к основной статье