ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Движение с нечетным профилем скорости из "Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости " Эта краевая задача будет рассмотрена в следующем параграфе. [c.305] все декременты вещественны и положительны (нормальные возмущения покоящегося слоя жидкости монотонно затухают). [c.308] Отсюда следует, что при малых числах Рейнольдса (пока справедливы разложения по степеням Н) возмущения потоков с нечетным профилем монотонны фазовые скорости нормальных возмущений обращаются в нуль ( стоячие возмущения). [c.309] К имеет малую мнимую часть, нечетную по х. Несмотря на это обстоятельство, удобно называть уровни спектра четными для / = 0,2,4,. .. и нечетными для /= 1,3,5,. .., поскольку при Н- 0 они переходят соответственно в четные и нечетные уровни невозмущенного спектра. [c.310] Нетрудно видеть, что аналогичными свойствами обладают и решения сопряженной задачи. [c.310] Последовательные приближения ф ) и удобно находить методом возмущений, разлагая ф ) по базисной системе собственных функций невозмущенной задачи. Соответствующие формулы для поправок Ьго и 2-го порядка получены в работе [ ]. [c.310] Входящий в это соотношение интеграл обозначим /. В случае колебательных возмущений Хф X, и потому необходимым условием появления колебательных возмущений является обращение в нуль интеграла /. [c.310] И (в силу нормировки (44.12)) имеем /= I. На нечетных уровнях соответственно ф = г1) = 0и/ = —1. , Из непрерывности ясно, что при малых Н интегралы на четных и нечетных уровнях отличны от нуля и сохраняют тот же знак, что и при Н = 0. Обращение интеграла / на каком-либо уровне в нуль может поэтому произойти лишь при конечных К. С этим обстоятельством и связано появление комплексных декрементов (колебательных возмущений). [c.311] Для более подробного выяснения условий возникновения колебательных возмущений рассмотрим пересечение двух соседних вещественных уровней спектра (такие уровни всегда обладают разной четностью). С этой целью воспользуемся методом, уже применявшимся при исследовании возмущений равновесия в магнитном поле ( 26). [c.311] Формула (44.21) определяет два декремента Я+ и Координата точки пересечения этих декрементов (если такое пересечение возможно) есть = Ко + бК, где бК находится из условия обращения в нуль подкоренного выражения. Легко видеть, прежде всего, что невозможно простое пересечение , при коГором оба декремента вещественны по обе стороны от точки пересечения. В самом деле, для такого пересечения необходимо, чтобы 12 21 равнялось нулю тождественно по Но, что заведомо не имеет места. Если же 1 12 21 ф О, то ситуация определяется знаком этого произведения. При 1 121 21 О подкоренное выражение существенно положительно при всех бК и пересечение вообще невозможно. Необходимым условием пересечения является 1 12 21 0 при этом в точке К происходит слияние вещественных декрементов (подкоренное выражение обращается в нуль), а при К К декременты и К- образуют комплексно-сопряженную пару (подкоренное выражение становится отрицательным). [c.312] Решая систему уравнений для коэффициентов и Сг, можно найти амплитуды ф+ и ф и показать, что в точке К они совпадают в этой точке обращаются в нуль оба интеграла ]+ и / (см. (44.18)). [c.312] соседние (и, следовательно, обладаюп ие разной четностью) вещественные декременты либо вовсе не пересекаются, либо сливаются в некоторой точке Н, образуя комплексно-со-пряженную пару. [c.312] Подчеркнем, что выводы относительно структуры спектра, содержащиеся в пп. 2 и 3, не связаны с конкретным видом профиля скорости. Существенным является лишь свойство нечетности этого профиля. [c.312] Из вещественности матрицы А следует, что ее собственные числа (декременты Л) либо вещественны, либо образуют комплексно-сопряженные пары (как было показано выше в п. 3, комплексно-сопряженные пары возникают в результате слияния вещественных уровней разной четности по мере увеличения-числа Рейнольдса). [c.313] Для получения спектра декрементов в достаточно широкой области значений параметра требуется использовать большое число базисных функций. Это приводит к необходимости диагонализировать матрицу высокого порядка, что может быть сделано лишь с помощью ЭВМ. В работах p ] применялся 6р-тогонально-степенной метод [ ]. Использовались приближения, содержащие до 36 базисных функций. Сравнение результатов, полученных с разным числом функций, показало, что этого приближения достаточно для надежного определения десяти нижних уровней спектра декрементов в области значений параметра кН 5000. [c.313] Правее точки пересечения декремент отрицателен, что соответствует монотонной неустойчивости. Критическое число Рейнольдса зависит от волнового числа к. Нейтральная кривая имеет минимум при /гт=1.3 минимальное критическое число Рейнольдса Йт = 83. Со стороны больших к нейтральная кривая ограничена асимптотой ко 2 все мелкомасштабные возмущения с к ко затухают (см., например, рис. 116, /г = 4 для всех возмущений Хг 0). [c.314] Вернуться к основной статье