ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Критические градиенты температуры и критические движения из "Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости " Физически совершенно ясно, что прц достаточно большой разности температур равновесие подогреваемой снизу жидкости становится неустойчивым. Это значит, что декременты X некоторых характеристических возмущений с увеличением числа Рэлея становятся отрицательными, а сами эти возмущения, затухая со временем при малых Н, начинают нарастать при больших Н. Обращение в нуль декремента выделяет условия, при которых возмущение нейтрально — не затухает и не нарастает. Очевидно, эти условия как раз и определяют границу устойчивости равновесия относительно данного возмущения. [c.25] Граничные условия остаются прежними (3.9), (3.10). [c.25] Мы снова получили задачу о собственных значениях. Собственными числами теперь являются критические значения числа Рэлея Н, а собственными функциями — соответствующие критические (нейтральные) движения (г , Г). [c.25] при подогреве снизу существует последовательность критических чисел Рэлея (критических градиентов температуры) и критических движений. При достижении критического числа Кг равновесие становится неустойчивым относительно соответствующего критического возмущения (г г, Гг). Наибольший интерес, разумеется, представляет нижний уровень спектра неустойчивости — наименьшее критическое число Рэлея Н] и связанное с ним критическое движение (У, Т ). Именно значение К] определяет порог конвекции. Отыскание верхних уровней, однако, также представляет значительный интерес если каким-либо образом удастся запереть основное критическое движение ), то порог будет определяться вторым уровнем неустойчивости и т. д. Кроме того, как уже говорилось, все критические движения образуют полный базис, удобный для изображения произвольного движения в полости. [c.26] Все другие критические числа следует искать из условия экстремума F/K, требуя ортогональности пробных движений ко всем критическим движениям, соответствующим более низким уровням спектра. [c.28] Для отыскания критических чисел Рэлея и критических движений можно использовать прямые методы математической физики, в частности, методы Ритца и Бубнова — Галеркина. Особенно широкое распространение в задачах конвективной устойчивости получил метод Бубнова — Галеркина ввиду его простоты и универсальности (см. работы а также ряд последующих параграфов этой книги). Важное преимущество этого метода состоит в том, что он может быть эффективно использован для решения задач, не связанных с вариационными проблемами. К их числу относится, например, задача об устойчивости конвективных движений, расс матриваемая в гл. X. [c.28] Основная идея метода Бубнова — Галеркина состоит в том, что приближенное решение однородной краевой задачи ищется в виде линейной суперпозиции конечного числа некоторых базисных функций, удовлетворяющих граничным условиям. Коэффициенты разложения определяются из интегральных условий, выражающих ортогональность невязки к каждой базисной функции. Таким образом, задача сводится к решению системы алгебраических уравнений для коэффициентов разложения. В качестве базиса обычно выбираются первые функции какой-либо полной системы. Успех в применении метода определяется выбором базисных функций и числом этих функций, входящих в разложение. При удачном выборе базиса достаточно точные результаты получаются уже при аппроксимации решения сравнительно небольшим числом функций. [c.28] Мы изложим здесь два варианта метода применительно к за-, даче о критических движениях. Оба варианта широко используются в дальнейшем изложении. [c.29] Перейдем теперь ко второму варианту метода. В этом варианте, как и в предыдущем, скорость представляется в виде линейной комбинации (4.14). Эта аппроксимация подставляется в уравнение теплопроводности (4.2), которое затем решается точно с надлежащими граничными условиями. Таким образом находится распределение температуры, соответствующее принятой аппроксимации скорости. [c.30] Характеристическое уравнение (4.22) представляет собой уравнение Л -й степени относительно К его корни дают приближение к N нижним уровням спектра. [c.31] Поскольку во втором варианте метода распределение температуры не аппроксимируется, а находится путем точного решения уравнения теплопроводности, ясно, что при одной и той же аппроксимации скорости второй вариант обеспечивает большую по сравнению с первым вариантом точность. [c.31] Преимущество второго метода особенно отчетливо проявляется в том случае, когда необходимо определить уровни неустойчивости в полости, окруженной массивом конечной теплопроводности. В этом случае трудно построить базис для представления возмущения температуры во всей области — в жидкости и массиве. Второй метод при этом исключает всякий дополнительный произвол функции 9 теперь следует искать во всей области, сшивая решение уравнения (4.20) с решением уравнения теплопроводности в массиве Л0 = О. [c.31] Эффективность метода может быть проиллюстрирована путем сравнения приближенного решения с точным на примере тех немногих задач, для которых точное решение удается найти. Так, в случае вертикального кругового цилиндра (см. 11) второе приближение метода (две базисные функции в аппроксимации скорости) позволяет найти нижнее критическое число Рэлея с точностью до долей процента во всем интервале изменения отношения теплопроводностей жидкости и массива. В случае же плоского горизонтального слоя еще более высокую точность дает первое приближение (см. 7). [c.31] Как уже говорилось, успех метода во многом зависит от выбора базиса. Поэтому в конкретных задачах при построении базиса полезно в целях повышения точности учитывать дополнительные соображения, связанные с симметрией полости, добавочными граничными условиями, которые в ряде случаев могут быть установлены с помощью уравнений, и пр. [c.31] Метод Бубнова — Галеркина может быть применен не только для определения критических чисел Рэлея и критических движений, но и для решения полной задачи о характеристических возмущениях (краевая задача (3.5) —(3.10)). [c.31] Вернуться к основной статье