ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Устойчивость и стабилизация по части переменных механических систем с конечным числом степеней свободы из "Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем Теория методы и приложения " Рассмотрим эти подходы более подробно. [c.167] Пусть система имеет положение равновесия q=q =0, аГиЯне зависят явно от времени. В этом случае имеет место обобщенный интеграл энергии Н= Гг - Го + Я = onst. [c.168] Тогда положение равновесия q = q = О системы (3.1.1) устойчиво по отношению к части переменных по отношению к qs, г s= , т,г= 1, А). [c.168] Эта функция является у-знакоопределенно положительной в смысле определения 2.1.1, если в вектор у включить переменные qs, qr (s = 1, w г = 1,Л). [c.168] Кроме того, в силу системы (3.1.1) имеет место тождество V = 0. [c.169] Пример 3.1.1 [Гантмахер, 1966 Воротников, 1991а, 1998]. Рассмотрим изображенную на рис. 3.1.1 электрическую цепь, включающую индуктивности ], 2з омическое сопротивление конденсаторы Сз ( 1, 23, и С12, Сз - постоянные). [c.169] В результате вместо сингулярной системы (3.1.4) можно рассматривать дифференциально-алгебраическую систему, состоящую из регулярной системы дифференциальных уравнений (3.1.6) и алгебраического уравнения (3.1.5). [c.170] Проведем более подробный анализ задачи, разбив его на 6 этапов, образующих достаточно типичную схему изучения частичной устойчивости. [c.170] Тогда положение равновесия q = 4 = О системы Ъ.. ) устойчиво по отношению к д, (5 = 1,/я /= 1, ). [c.170] Доказательство. При выполнении условия 1) имеют место равенства Г= Ti, Г) = Го = О, и система (3.1.1) имеет интеграл энергии Н= Т + Я= onst. [c.171] Тогда положение равновесия q = q = О системы ЪЛ Л) устойчиво по отношению к q q, (s= , т п i= , п) при больших q ,+ fi,. .., q ,o. [c.171] Положение равновесия х, = х, =0, / = 1,3 точки устойчиво по отношению к Х , Х2, дг ,.Г2,при большом хзо на основании следствия 3.1.2. [c.171] В случае (3.1.8) система (3.1.7) имеет положение равновесия q =q = 0. [c.172] Тогда положение равновесия q = q = О системы (3.1.1) q -устойчиво в целом по qo). [c.172] Если выполнены условия 2) и 3), то выбранная F-функция при у = q удовлетворяет условиям теоремы 2.1.1 с учетом сделанного к ней дополнения поэтому положение равновесия q = q = О устойчиво по q (в целом по qo). [c.172] Ряд вопросов, касающихся частичной устойчивости движения механических систем, возник во второй половине XIX столетия в трудах выдающегося английского механика Э. Рауса [Routh, 1877]. К рассмотрению таких вопросов естественным образом приводит разработанный Раусом метод игнорирования циклических координат. [c.173] В курсе по теории дифференциальных уравнений Дж. Сансоне [Sansone, 1941], одном из первых общих курсов по теории дифференциальных уравнений, даже предложено частичную устойчивость называть устойчивостью в смысле Рауса. Однако этот термин не получил распространения в литературе. Дело, по-видимому, в том, что результаты Рауса, несмотря на их важность, касаются только отдельных классов механических систем и изучаемых движений, и не обладают достаточной общностью применительно к изучению устойчивости произвольных процессов (движений) динамических систем общего вида. [c.173] Вернуться к основной статье