ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Методы исследования задач управления по части переменных из "Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем Теория методы и приложения " Рассмотрим эти методы более подробно. [c.126] Основная теорема H.H. Красовского [1966] об оптимальной стабилизации движения (по отношению ко всем переменным) представляет собой модификацию классической теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости движения, и получена с учетом метода динамического программирования [Bellman, 1957 Bellman и др., 1958]. [c.126] Обсуждение теоремы 2.4.1. 1°. В случае к = т условие 4) является следствием условия И (г, X) A( w ). [c.127] Один из возможных подходов к проблеме предложен В.В. Румянцевым 1970а]. Он сводится к выбору в качестве оптимальной соответствующей V-функции для неуправляемой части системы (1.3.1). При этом происходит как бы полуобратный выбор функционала качества / подынтегральное выражение становится полностью определенным (структура подынтегрального выражения задается заранее) только после решения задачи. Данный подход (с рассмотрением ряда примеров из механики) подробно излагается в монографии В.В. Румянцева и А.С. Озиранера [1987]. [c.127] Задача 2.4.1 [Воротников, 1990, 1998]. Найти управления и = и(/, х) Ц такие, что невозмущенное движение у] = у2 = г = О системы (2.4.5) асимптотически (у , у- -устойчиво и устойчиво по Ляпунову. [c.128] Рассмотрим один из методов решения задачи 2.4.1, обеспечивающий поли-устойчивость невозмущенного движения замкнутой системы (2.4.5), и опирающийся на аппарат дифференциальной геометрии. [c.128] Приведем один из вариантов условий разрешимости задачи 2.4.1, включающих в себя указанные выше ограничения на постоянные гпи m2, г, q. [c.129] Тогда управления (2.4.6) гарантируют устойчивость по Ляпунову и асимптотическую у-устойчивость невозмущенного движения х = О исходной нелинейной системы (2.4.5). [c.129] Доказательство. Введенное неравенство тг + q г, а также r-q т + m2-/, в случае г т имеют место одновременно при выполнении условия 1). [c.129] Таким образом, решение исходной нелинейной задачи стабилизации невозмущенного движения X = О системы (2.4.5) по отношению к переменным у, У2, У2 будет фактически означать стабилизацию этого движения по большему числу переменных у-стабилизацию. [c.129] Обсуждение теоремы 2.4.2. 1°. Структурная форма (2.4.5) характерна для многих механических систем [Воротников, 1998]. Так, например, при изучении задачи стабилизации искусственного спутника на круговой орбите первые две фуппы уравнений системы (2.4.5) характеризуют угловую скорость и ориентацию спутника в орбитальной системе координат, а третья фуппа уравнений - возмущенное движение центра масс спутника. [c.130] При изучении задачи стабилизации положения равновесия твердого тела посредством гироскопа в кардановом подвесе [Воротников, 1990, 1991а, 1998] первые две фуп-пы уравнений определяют угловую скорость и ориентацию тела, а третья фуппа уравнений - движение гироскопа. [c.130] Однако в тех задачах, где в силу недостаточного числа управляющих моментов возможна только частичная стабилизация положения равновесия твердого тела, требуется рассмотрение более общей системы (2.4.5), в которой Y2 = з(х). В этом случае (при некотором уточнении условий теоремы 2.4.2) предложенный подход к решению задачи 2.4.1 сохраняется см. пример 2.4.1. [c.130] Пример 2.4.1 [Воротников, 1991а, 1998]. Продолжим начатое в разделе 1.1.7 рассмотрение задачи стабилизации космического аппарата (КА) относительно заданного направления в пространстве. [c.130] Система уравнений возмущенного движения имеет вид (1.1.20). Однако, в отличие от раздела 1.1.7, считаем, что для стабилизации используется двухканальное управление только две пары связанных с КА двигателей, которые создают два (а не три) управляющих воздействия щ и щ (и2= 0). [c.131] Обратим внимание на то, что управляющие воздействия создаются относительно тех главных центральных осей / и /з инерции КА, которые перпендикулярны оси 2, стабилизируемой в заданном направлении (рис. 2.4.2). [c.131] Данная ориентация может осуществляться естественным образом (без специальной системы управления), для чего необходимо сориентировать спутник соответствующим образом при отделении его от последней ступени ракеты-носителя. Однако в момент отделения, а также в силу других возможных причин, появляются некоторые возмущения, и требуется подобрать управляющие воздействия и, таким образом, чтобы придать спутнику требуемую ориентацию. [c.133] В случае и е и и = Fiy + Tiz (Г / = 1,2 - некоторые постоянные матрицы), показано [Воротников, 1982а, 1991а, 1998], что управления и, решающие задачу у-стабилизации системы (2.4.18), если они существуют, всегда могут быть построены в виде (2.4.19). [c.135] Тогда задача у-стабилизации системы (2.4.18) имеет решение и стабилизирующие управления могут быть построены в виде (2.4.19). [c.135] Вернуться к основной статье