ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Устойчивость по части переменных линейных систем, по линейному приближению и в критических случаях из "Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем Теория методы и приложения " Остановимся на этих результатах более подробно. [c.97] Интерес к задаче устойчивости по части переменных для линейных систем, по-видимому, возник еще в начале ХХ-го столетия. [c.97] Однако несмотря на наложенный Э. Эсклангоном запрет некоторых ситуаций частичной устойчивости для уравнения (2.2.1), уже в случае п = 2 остаются возможности различных других видов частичной устойчивости этого уравнения и, в частности, возможность асимптотической устойчивости по отношению к координате л (рис. 2.2.1). [c.98] Эта задача эквивалентна задаче асимптотической устойчивости по отношению к координате х. [c.98] Следует отметить, что в общем случае метод построения ц-системы позволяет получить лишь достаточные условия частичной устойчивости и проблема конструктивного определения условий частичной устойчивости (асимптотической устойчивости) линейных систем продолжает оставаться открытой. [c.99] Известны [Луценко, Стадникова, 1973 Кривошеев, Луценко, 1980] и другие условия частичной устойчивости для линейных автономных систем, основанные на анализе корневых векторов [Фаддеев, Фаддеева, 1963] этих систем. [c.99] Исследование частичной асимптотической устойчивости нелинейных систем по линейному приближению начато в работах С. orduneanu [1971], А.С. Озиранера [1973] и В.П. Прокопьева [1975] на основе метода функций Ляпунова. [c.99] Предложен также и иной подход к данной проблеме [Воротников, 1979, 1988а, 1991а, 1998]. Этот подход основан на нелинейных преобразованиях переменных исходной нелинейной системы. Отметим, что сначала [Воротников, 1979] использовалось требование z-ограниченности решений исследуемой системы, которое затем было снято. Данный подход рассматривается в разделе 2.2.7. [c.99] Для линейных систем устойчивость (как по всем, так и по части переменных) одного решения влечет устойчивость любого другого решения и, следовательно, можно говорить просто об устойчивости системы. [c.100] При таком введении новых переменных возможны два случая. [c.100] В конечном счете таким путем для исходной системы (2.2.2) всегда может быть построена вспомогательная ц-система, размерность которой не превышает размерности исходной системы. Множество собственных чисел ц-системы является подмножеством (в частности, совпадает со всем множеством) множества собственных чисел исходной системы (2.2.2). [c.101] При этом для у-устойчивости асимптотической у-устойчивости) системы (2.2.2) необходимо и достаточно чтобы -система была устойчива (асимптотически устойчива) по Ляпунову. [c.101] Доказательство. 1. Новые переменные, необходимые для построения ц-системы, выбираются из переменных (в векторном виде) ц = 5z, = Вг - BDz и т.д. Поэтому при определении размерности вспомогательной ц-системы естественным образом возникает матрица Кр. [c.101] Анализ свойств этой матрицы показывает, что размерность ц-системы равна dim(y) + гапкКр. Первая часть теоремы доказана. [c.101] Докажем необходимость. Ограничимся случаем асимптотической устойчивости. Структура фундаментальной матрицы решений системы (2.2.2) такова, что если система (2.2.2) асимптотически у-устойчива, то она также устойчива и по отношению к переменным ц = Вг. [c.101] Следствие 2.2.1 [Peiffer, 1968 Воротников, Прокопьев, 1978]. Пусть среди корней характеристического уравнения системы (2.2.2) только т т = dim(y)) имеют отрицательные действительные части. [c.102] Вернуться к основной статье