ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод функций Ляпунова в задаче устойчивости по части переменных. Построение функций Ляпунова из "Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем Теория методы и приложения " Рассмотрим некоторые основные результаты, касающиеся использования МФЛ применительно к ЧУ-задаче для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с непрерывной правой частью. Для формулировки результатов введем два класса вспомогательных функций. [c.68] Если неравенство (2.1.1) выполняется в области i О, х оо для монотонно возрастающей при г е [О, оо) функции а(г) е 3Q причем а г) - оо при г - оо, то V-функция будет у-определенно положительной в целом [Воротников, 1993,1998]. [c.69] Тогда невозмущенное движение х = О системы ( 1.2.1 ) у-устойчиво. Доказательство. Для любых О, /о О, е (О, h) в силу непрерывности функций V,avi условий а(0) = О, V t, 0) = О можно найти число (f, /о) О, такое, что из хо S следует Г(/о, хо) а е). [c.71] О системы (2.1.5) устойчиво по отнощению k i. [c.71] Действительно, при //i = yiZi и любом конечном значении h в области (2.1.6) справедливо условие (2.1.7). В то же время lim F = О при любом фиксированном у и zil - 00. В результате не выполняется не только условие знакоопределенности по Ляпунову (F = О прид = О и любом Zi), но и условие F(/, х) а( уЦ) в области (1.2.2) -условие у-знакоопределенности в смысле определения 2.1.1. [c.72] В таблице 2.1.1 [Воротников, 1993, 1998] для случая т = р = приводится восемь F-функций, показывающих возможный характер взаимоотношений между введенными понятиями см. также рис. 2.1.1, 2.1.3-2.1.8. [c.72] Свойства таких Г-функций уже в случае т = р = могут быть промежуточными к свойствам знакоопределенности по отношению к у и по Ляпунову. [c.74] Тогда невозмущенное движение х = О системы 2Л) у-устойчиво. [c.74] Обсуждение теоремы 2.1.2. 1°. Область (1.2.2), рассматриваемая в теореме 2.1.1 в расчете на наихудший случай изменения неконтролируемых /-переменных, в теореме 2.1.2 заменяется более ограничительным условием (2.1.6). При этом, в силу (2.1.9), гарантируется выполнение данного условия вдоль траекторий системы (1.2.1). [c.75] Следовательно, в области (2.1.6) имеют место оба условия (2.1.9). [c.76] В то же время И-функция не является знакоопределенной ни по отношению к у в смысле определения 2.1.1 (V - О при х = Х2 =0, дг2 - оо и любом фиксированном Х ), ни по Ляпунову (У=0 при Xi = ii = Х2 = О и любом хг). [c.76] Для этого проверять у-знакоопределенность Г-функций следует не в области (1.2.2), а ш множестве Q = х(/ /о, Хо) решений системы (1.2.1) с достаточно малым значением хо . Такой проверки (когда она возможна) достаточно для установления у-устойчивости. [c.76] Тогда невозмущенное движение х = О системы (1.2.1) у-устойчиво. [c.76] Обсуждение теоремы 2.1.3. 1°. Условия теоремы 2.1.3 отличаются от условий теоремы 2.1.1 тем, что у-знакоопределенность F-функции проверяется не в области (1.2.2), а на множестве Q. В литературе имеется близкий результат [Halanay, 1963], полученный не в связи с обсуждаемыми в данном разделе вопросами. [c.76] Тогда невозмущенное движение х = О системы . 2Л) асимптотически у-устойчиво. [c.77] Вернуться к основной статье