ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Другие скалярные задачи со спектральным параметром в граничных условиях из "Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции Спектральные свойства дифракции " Первый пункт этого параграфа содержит подготовку к рассмотрению задач, которые будут сформулированы в п. 2. [c.361] Предложение 1. В — ПДО порядка не выше)—1. [c.361] Следствие. I - -2В и I — 2В — эллиптические операторы нулевого порядка. Кег (/4-26) и Кег(/ — 2В) конечномерны и состоят из бесконечно гладких функций. [c.362] Этим временно исключаются из рассмотрения некоторые вещественные к. [c.362] Предложение 2. Условия 1° и 2° эквивалентны соответственно существованию ПДО (/ -Ь 2Л) и / — 26) нулевого порядка. [c.362] В последнем равенстве имеются в виду функции и х), удовлетворяющие условию излучения. [c.363] Теперь проверим формулу (37.4). Пусть ы(х) —решение уравнения Гельмгольца в У с условием ди+1дМ = 0. Первая из формул (37.2) показывает, что (/ —26)ы+ = 0. [c.363] Очевидно, что формула (37.4) останется справедливой, если перед ди+1дМ поставить А. [c.364] Заметим, что оператор В = В вместе с В есть ПДО порядка —1. Звездочкой в этом пункте мы обозначаем оператор, сопряженный к данному относительно скалярного произведения (30.6). [c.364] Вторая из формул (37.9) получается аналогично. Сравнивая формулы (37.8) и (37.9), получаем Следствие 1. ВА = АВ. [c.365] Предельным переходом это равенство распространяется на значения к, исключенные условиями 1° и 2°. Следствие 2. Т + — Т+, Т- = Т-. [c.365] Во всех задачах О] (х) — положительная функция из С°° (5). Функция %а (д ) может быть комплексной вместе с Я. [c.366] Следствие. Корневые функции этих операторов принадлежат С°° (5). Для характеристических чисел операторов Не +, Re -, имеет место асимптотика (36.18а, б) с (т = 201. [c.366] Для задач 1), 2), 3) можно получить теоремы, аналогичные теореме 2 36. Мы не будем на этом останавливаться см. [35], [38]. [c.366] Первое слагаемое справа имеет такой же порядок, как Л2. В третьей строке стоит оператор порядка не выше — q — 2, так как fi, fi и Л — операторы порядка — 1. Во второй строке в квадратных скобках стоит оператор, который можно представить в виде суммы произведений операторов fi, и fia с некоторыми коэффициентами, причем в каждом произведении множитель В2 присутствует хотя бы один раз. Теперь доказательство заканчивается без труда. [c.367] Если же п = 3 и Im О, то для ТТ , Т справедливы утверждения теоремы 2 из 35 с р = 1/2, 6 = 0. [c.368] Сказанное после теоремы 3 36 можно было бы повторить и здесь. Наиболее сильные утверждения получаются для бесконечно гладких функций, а также для Im = 0. [c.368] И В — В — бесконечно сглаживающие операторы, то --—эллиптический оператор порядка —1 с тем же, что и раньше, символом, а 1т.9 -, поскольку к вещественно, — бесконечно сглаживающий оператор. Таким образом, теорема 2 сохраняется для. 9 . [c.369] Рассмотрим задачу 3). Для простоты предположим, что а, = 1. Пусть нарушено условие 2°. Тогда у задачи появляется собственное значение оо ему отвечают решения и(х), равные О в У , с ди 1дЫ = 0, и еКег(/ —2В). При любом конечном X решение задачи с еКег(/ —2В) однозначно определяется в только что указанном классе для этого достаточно положить и+ = —Обозначим через Я( ) ортогональное дополнение [Кег(/ — 2В) к Кег(/ — 28) и через Р орто-проектор на в Яо(5). Мы можем считать, что д=Рд, и наша цель теперь заключается в том, чтобы привести задачу к уравнению на 5 в Ж ). [c.369] Вернуться к основной статье